Здесь больше нет рекламы. Но могла бы быть, могла.

Pages: 1 2 [All]   Go Down

Author Topic: Теория множеств  (Read 36893 times)

0 Members and 1 Guest are viewing this topic.

Offline kidd79›

  • Force Ghost
  • Глобальный модератор
  • *****
  • Gender: Male
  • кидд, просто кидд
    • View Profile
Теория множеств
« on: 22/09/2006, 00:17:44 »
Я дико благодарен Mrrl (он знает, за что), но, поскольку не знаю, как отблагодарить — дарю ему свеженайденное:

— Дорогой, ты математику любишь больше, чем меня!
— Конечно нет, как ты могла такое подумать!
— Докажи!
— Ну хорошо. Допустим, А — непустое множество всех любимых мной объектов…
Logged
Въ младенчестве его приписали къ форуму, и къ осьми годамъ онъ выслужился до модератора. (с) RW

Offline Mrrl›

  • Волшебник-Прогрессор
  • Ветеран
  • *****
  • Gender: Male
  • Древние тайны всех мирозданий мне под силу...
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #1 on: 22/09/2006, 00:22:58 »
Спасибо! Очень актуально  ;D
Logged
When I see a troll up in the mountains with a necklace of human skulls, I say good luck to him. (c)

Насколько я помню, я был всегда!

Offline Manveru›

  • Белый рыцарь
  • Ветеран
  • *****
  • Gender: Male
  • Ad majorem Dei gloriam
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #2 on: 22/09/2006, 00:31:34 »
Угу. Это не смешно. Когда начинаешь говорить: "N чего либо, где N больше, скажем, пяти" в обычном разговоре или писать в словесках "промежутки между двумя последовательными взглядами всё сокращались", понимаешь, что математика ум не только в порядок приводит, но и немножко уродует его.
Logged
Любовь к Тебе я выбрал, Боже,
Все прочее - ничтожный хлам              Если тебе дадут линованную бумагу - пиши поперёк. Х.Р. Хименес
Омар Хайям.

Offline sisoid›

  • Шпиён
  • Ветеран
  • *****
  • Gender: Male
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #3 on: 22/09/2006, 00:34:54 »
Это не только про математику можно сказать.
Logged

Offline Mrrl›

  • Волшебник-Прогрессор
  • Ветеран
  • *****
  • Gender: Male
  • Древние тайны всех мирозданий мне под силу...
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #4 on: 22/09/2006, 00:39:02 »
Привыкаешь к точности формулировок. И быстрому заданию контекста ("предположим противное. Пусть...") А собеседники не успевают отследить, или просто не понимают формулировок.
  То, что фраза "тогда бы я сделал то-то" в действительности означает "но я этого не делаю, а значит, исходная предпосылка неверна" не понимает почти никто - ее воспринимают как "при определенных условиях я собираюсь сделать то-то". Или просто как "я сделаю то-то".
  Иногда бывает не смешно.
Logged
When I see a troll up in the mountains with a necklace of human skulls, I say good luck to him. (c)

Насколько я помню, я был всегда!

Offline kidd79›

  • Force Ghost
  • Глобальный модератор
  • *****
  • Gender: Male
  • кидд, просто кидд
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #5 on: 22/09/2006, 00:42:08 »
Формальную логику, кстати, вообще надо в школах обязательным предметом вводить…
Logged
Въ младенчестве его приписали къ форуму, и къ осьми годамъ онъ выслужился до модератора. (с) RW

Offline Manveru›

  • Белый рыцарь
  • Ветеран
  • *****
  • Gender: Male
  • Ad majorem Dei gloriam
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #6 on: 22/09/2006, 00:45:13 »
Quote from: kidd 79th on 22/09/2006, 00:42:08
Формальную логику, кстати, вообще надо в школах обязательным предметом вводить…
ППКС. И ещё курсы по ней для школьных учителей-гуманитариев - обязательно.

Да, а со мной в жизни на многие темы говорить неинтересно. У меня закат превращается в рефракцию, солнечные лучи - в дифракцию, а качели - в интерференцию. Тяжела жизнь физика...
Logged
Любовь к Тебе я выбрал, Боже,
Все прочее - ничтожный хлам              Если тебе дадут линованную бумагу - пиши поперёк. Х.Р. Хименес
Омар Хайям.

Offline Oranje›

  • Je Maintiendrai
  • Ветеран
  • *****
  • Gender: Male
  • Розенбом гловнее Розенталя.
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #7 on: 22/09/2006, 00:50:09 »
Off-topic
Quote
шаси называют это "испорченность образованием"  шаси испорчены экономическим образованием, да  но слова типа "выборка" они тоже любят!

Вот и я говорю всех на электрический стул :)
Logged
Два холивора и диетический баттхерт пожалуйста

Offline sisoid›

  • Шпиён
  • Ветеран
  • *****
  • Gender: Male
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #8 on: 22/09/2006, 00:53:53 »
Off-topic
Quote from: Manveru on 22/09/2006, 00:45:13
Да, а со мной в жизни на многие темы говорить неинтересно. У меня закат превращается в рефракцию, солнечные лучи - в дифракцию, а качели - в интерференцию. Тяжела жизнь физика...
Вот и я тут пишу, а сам о зондах в положительном столбе плазмы думаю... :-[
Logged

Offline Ellome›

  • Очарованный странник
  • Глобальный модератор
  • *****
  • Gender: Male
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #9 on: 22/09/2006, 01:08:43 »
Ну анектоды анектодами, но часто себя ловлю на том, что объясняя что-либо, часто использую именно математические абстракции.
Logged
В пурпурных снегах
Потерян наш след;
Мы уйдем за дождем,
Разбив зеркала.
(С) БГ

Offline Shadow›

  • loner
  • Постоялец
  • ***
  • Gender: Female
  • ... и, обложив всех молчанием, вышел...
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #10 on: 22/09/2006, 01:36:55 »
я вот себя ловлю на этом не только в объяснениях, а еще и в свох графоманских попытках передать образ. и получаются субъективно очень сочные и полные образы. правда мне все время кажется, что это только мне так кажется :)
Logged
судьба ищущего истину - всегда хрома
------------------------------------------------
entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem

Offline Мунин›

  • Бывш. Н. З. Модератора
  • Модератор
  • *****
  • Tolkien.SU(3)xSU(2)xU(1)
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #11 on: 22/09/2006, 02:24:09 »
Сколько, оказывается, среди нас физиков и математиков. Просто ужас.

Давайте проверять друг друга. Кто знает, почему про пьяницу на дороге можно сказать, что у него связность с кручением?
Logged
Главным делом жизний вашей может стать любой пустяк.
Надо только твердо верить, что важнее дела нет.
И тогда не помешают вам ни холод, ни жара,
задыхаясь от восторга заниматься чепухой. (Г. Остер)

Offline Shadow›

  • loner
  • Постоялец
  • ***
  • Gender: Female
  • ... и, обложив всех молчанием, вышел...
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #12 on: 22/09/2006, 02:32:09 »
Quote from: Мунин on 22/09/2006, 02:24:09
Сколько, оказывается, среди нас физиков и математиков. Просто ужас.

я кстати, в итоге недоделанный. поэтому сказать, как правило, ничего не могу или опасаюсь, но очень люблю читать :) так что вы пишите, пишите :)
Logged
судьба ищущего истину - всегда хрома
------------------------------------------------
entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem

Offline Мунин›

  • Бывш. Н. З. Модератора
  • Модератор
  • *****
  • Tolkien.SU(3)xSU(2)xU(1)
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #13 on: 22/09/2006, 02:41:02 »
Ладно. Кто решает бытовые задачи при помощи вариационных принципов?
seer, учайствуй! Кого тут опасаться?
Logged
Главным делом жизний вашей может стать любой пустяк.
Надо только твердо верить, что важнее дела нет.
И тогда не помешают вам ни холод, ни жара,
задыхаясь от восторга заниматься чепухой. (Г. Остер)

Offline Shadow›

  • loner
  • Постоялец
  • ***
  • Gender: Female
  • ... и, обложив всех молчанием, вышел...
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #14 on: 22/09/2006, 02:43:18 »
Quote from: Мунин on 22/09/2006, 02:41:02
seer, учайствуй! Кого тут опасаться?
кого-кого. себя :) вот как закончу второе начатое образование - серьезно засяду за самообразование :) есть у меня голубая мечта - хорошо знать математику :)
Logged
судьба ищущего истину - всегда хрома
------------------------------------------------
entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem

Offline Мунин›

  • Бывш. Н. З. Модератора
  • Модератор
  • *****
  • Tolkien.SU(3)xSU(2)xU(1)
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #15 on: 22/09/2006, 02:48:19 »
Quote from: seer on 22/09/2006, 02:43:18
кого-кого. себя :)
Фигня! Насмерть не закусаешь, а остальное лечится! По себе знаю...
Logged
Главным делом жизний вашей может стать любой пустяк.
Надо только твердо верить, что важнее дела нет.
И тогда не помешают вам ни холод, ни жара,
задыхаясь от восторга заниматься чепухой. (Г. Остер)

Offline Shadow›

  • loner
  • Постоялец
  • ***
  • Gender: Female
  • ... и, обложив всех молчанием, вышел...
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #16 on: 22/09/2006, 02:49:47 »
Quote from: Мунин on 22/09/2006, 02:48:19
Quote from: seer on 22/09/2006, 02:43:18
кого-кого. себя :)
Фигня! Насмерть не закусаешь, а остальное лечится! По себе знаю...
я обдумаю ;)
Logged
судьба ищущего истину - всегда хрома
------------------------------------------------
entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem

Offline Мунин›

  • Бывш. Н. З. Модератора
  • Модератор
  • *****
  • Tolkien.SU(3)xSU(2)xU(1)
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #17 on: 22/09/2006, 02:54:54 »
Quote from: seer on 22/09/2006, 02:43:18
есть у меня голубая мечта - хорошо знать математику :)
Кстати, какие разделы?
Logged
Главным делом жизний вашей может стать любой пустяк.
Надо только твердо верить, что важнее дела нет.
И тогда не помешают вам ни холод, ни жара,
задыхаясь от восторга заниматься чепухой. (Г. Остер)

Offline Мунин›

  • Бывш. Н. З. Модератора
  • Модератор
  • *****
  • Tolkien.SU(3)xSU(2)xU(1)
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #18 on: 22/09/2006, 02:58:04 »
Logged
Главным делом жизний вашей может стать любой пустяк.
Надо только твердо верить, что важнее дела нет.
И тогда не помешают вам ни холод, ни жара,
задыхаясь от восторга заниматься чепухой. (Г. Остер)

Offline Shadow›

  • loner
  • Постоялец
  • ***
  • Gender: Female
  • ... и, обложив всех молчанием, вышел...
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #19 on: 22/09/2006, 02:59:41 »
Quote from: Мунин on 22/09/2006, 02:54:54
Quote from: seer on 22/09/2006, 02:43:18
есть у меня голубая мечта - хорошо знать математику :)
Кстати, какие разделы?
когда-то я хотела пойти на кафедру системного анализа, эх..

ЗЫ сайт не знаю
Logged
судьба ищущего истину - всегда хрома
------------------------------------------------
entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem

Offline Eileen›

  • Новичок
  • *
  • Gender: Female
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #20 on: 22/09/2006, 03:01:09 »
Quote
Формальную логику, кстати, вообще надо в школах обязательным предметом вводить…

"Logic! Why don't they teach logic in these schools?"  :)
Logged

Offline Мунин›

  • Бывш. Н. З. Модератора
  • Модератор
  • *****
  • Tolkien.SU(3)xSU(2)xU(1)
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #21 on: 22/09/2006, 03:07:37 »
Quote from: Eileen on 22/09/2006, 03:01:09
"Logic! Why don't they teach logic in these schools?"  :)
Угу. У меня один знакомый любит спрашивать людей о парадоксах материальной импликации, и втихаря посмеивается над ответами, лежащими на донышке того объёма, который он по ним уже перелопатил.
Logged
Главным делом жизний вашей может стать любой пустяк.
Надо только твердо верить, что важнее дела нет.
И тогда не помешают вам ни холод, ни жара,
задыхаясь от восторга заниматься чепухой. (Г. Остер)

Offline Мунин›

  • Бывш. Н. З. Модератора
  • Модератор
  • *****
  • Tolkien.SU(3)xSU(2)xU(1)
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #22 on: 22/09/2006, 03:11:48 »
Quote from: seer on 22/09/2006, 02:59:41
Quote from: Мунин on 22/09/2006, 02:54:54
Quote from: seer on 22/09/2006, 02:43:18
есть у меня голубая мечта - хорошо знать математику :)
Кстати, какие разделы?
когда-то я хотела пойти на кафедру системного анализа, эх..
Я такого не знаю :( Алгебру знаю, геометрию знаю, системного анализа не знаю...

Quote from: seer on 22/09/2006, 02:59:41
ЗЫ сайт не знаю
А ты сунься...
Logged
Главным делом жизний вашей может стать любой пустяк.
Надо только твердо верить, что важнее дела нет.
И тогда не помешают вам ни холод, ни жара,
задыхаясь от восторга заниматься чепухой. (Г. Остер)

Offline Mrrl›

  • Волшебник-Прогрессор
  • Ветеран
  • *****
  • Gender: Male
  • Древние тайны всех мирозданий мне под силу...
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #23 on: 22/09/2006, 08:15:01 »
Quote from: Мунин on 22/09/2006, 02:24:09
Сколько, оказывается, среди нас физиков и математиков. Просто ужас.

Действительно!

Quote
Давайте проверять друг друга. Кто знает, почему про пьяницу на дороге можно сказать, что у него связность с кручением?
У него просто метрика пространства другая. Поэтому его геодезическая отличается от нашей.

Quote from: Мунин on 22/09/2006, 02:41:02
Ладно. Кто решает бытовые задачи при помощи вариационных принципов?

Траектория пути от дома к метро считается? Когда я выбираю, с какой стороны тротуара и с какой скоростью поворачивать за угол, то пользуюсь принципом максимума Понтрягина (или некоторыми из его следствий :) ). Наверняка есть и другие примеры, но их надо вспоминать.

Я системного анализа тоже не знаю, но в визитке у меня написано "System Analyst"  ;D
Logged
When I see a troll up in the mountains with a necklace of human skulls, I say good luck to him. (c)

Насколько я помню, я был всегда!

Offline Арвинд›

  • Глобальный модератор
  • *****
  • Gender: Male
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #24 on: 22/09/2006, 14:04:19 »
Quote from: Мунин on 22/09/2006, 03:11:48
Quote from: seer on 22/09/2006, 02:59:41
Quote from: Мунин on 22/09/2006, 02:54:54
Quote from: seer on 22/09/2006, 02:43:18
есть у меня голубая мечта - хорошо знать математику :)
Кстати, какие разделы?
когда-то я хотела пойти на кафедру системного анализа, эх..
Я такого не знаю :( Алгебру знаю, геометрию знаю, системного анализа не знаю...
Я ту самую кафедру закончил. И тоже не знаю  :D
Logged

Offline Мунин›

  • Бывш. Н. З. Модератора
  • Модератор
  • *****
  • Tolkien.SU(3)xSU(2)xU(1)
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #25 on: 22/09/2006, 14:36:01 »
Quote from: Mrrl on 22/09/2006, 08:15:01
Quote
Давайте проверять друг друга. Кто знает, почему про пьяницу на дороге можно сказать, что у него связность с кручением?
У него просто метрика пространства другая. Поэтому его геодезическая отличается от нашей.
Ага. Но он же ещё и сам качается!
Logged
Главным делом жизний вашей может стать любой пустяк.
Надо только твердо верить, что важнее дела нет.
И тогда не помешают вам ни холод, ни жара,
задыхаясь от восторга заниматься чепухой. (Г. Остер)

Offline Mrrl›

  • Волшебник-Прогрессор
  • Ветеран
  • *****
  • Gender: Male
  • Древние тайны всех мирозданий мне под силу...
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #26 on: 22/09/2006, 17:21:29 »
Это нам так кажется. А он идет совершенно ровно. В своем пространстве.
Logged
When I see a troll up in the mountains with a necklace of human skulls, I say good luck to him. (c)

Насколько я помню, я был всегда!

Offline Мунин›

  • Бывш. Н. З. Модератора
  • Модератор
  • *****
  • Tolkien.SU(3)xSU(2)xU(1)
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #27 on: 22/09/2006, 19:56:41 »
Знаешь, как кручение обнаруживается? Надо пройти по линии (даже не обязательно геодезической), и потом по ней же обратно ("след в след"). Если есть кручение - переносимый вектор не вернётся в прежнее положение.
Logged
Главным делом жизний вашей может стать любой пустяк.
Надо только твердо верить, что важнее дела нет.
И тогда не помешают вам ни холод, ни жара,
задыхаясь от восторга заниматься чепухой. (Г. Остер)

Offline Mrrl›

  • Волшебник-Прогрессор
  • Ветеран
  • *****
  • Gender: Male
  • Древние тайны всех мирозданий мне под силу...
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #28 on: 22/09/2006, 20:01:16 »
Да. Наглядно такого не представить.  :)
Logged
When I see a troll up in the mountains with a necklace of human skulls, I say good luck to him. (c)

Насколько я помню, я был всегда!

Offline Мунин›

  • Бывш. Н. З. Модератора
  • Модератор
  • *****
  • Tolkien.SU(3)xSU(2)xU(1)
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #29 on: 22/09/2006, 22:09:54 »
Ну как это? Как раз представить. Просто надо откладывать векторы в касательном векторном пространстве, а не прямо в том, в котором связность нарисована.
Logged
Главным делом жизний вашей может стать любой пустяк.
Надо только твердо верить, что важнее дела нет.
И тогда не помешают вам ни холод, ни жара,
задыхаясь от восторга заниматься чепухой. (Г. Остер)

Offline Mrrl›

  • Волшебник-Прогрессор
  • Ветеран
  • *****
  • Gender: Male
  • Древние тайны всех мирозданий мне под силу...
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #30 on: 22/09/2006, 22:39:30 »
Ну все-таки... В математике нет времени, так что проход "обратно" никак не должен отличаться от прохода "туда". И каким образом при проходе по той же кривой можно получить ненулевое преобразование векторного пространства - пока не понимаю.
  Спасибо за очередной повод поискать геометрический смысл тензора Риччи, кстати :)
Logged
When I see a troll up in the mountains with a necklace of human skulls, I say good luck to him. (c)

Насколько я помню, я был всегда!

Offline Мунин›

  • Бывш. Н. З. Модератора
  • Модератор
  • *****
  • Tolkien.SU(3)xSU(2)xU(1)
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #31 on: 23/09/2006, 04:28:04 »
Так интеграл по кривой ориентирован, разумеется. В одну сторону dl, в другую -dl. Соответственно, связность состоит из чётного по этому признаку Кристоффеля, и нечётного кручения.

Смысл тензоров кривизны лучше всего расписан в Гравитации Мизнера, Торна, Уилера, том 1, как мне кажется. Там нарисована формулка, как схождение геодезических связано с кривизной. После этого и Риман, и Риччи, и скалярная на раз расписываются.
Logged
Главным делом жизний вашей может стать любой пустяк.
Надо только твердо верить, что важнее дела нет.
И тогда не помешают вам ни холод, ни жара,
задыхаясь от восторга заниматься чепухой. (Г. Остер)

Offline Mrrl›

  • Волшебник-Прогрессор
  • Ветеран
  • *****
  • Gender: Male
  • Древние тайны всех мирозданий мне под силу...
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #32 on: 23/09/2006, 07:07:42 »
И в матане, и в ДУ никаких функций от dl не рассматривается, на него только умножают и делят. Насколько я помню, дифгем глубже не забирается, и откуда может взяться разделение на "четность/нечетность по этому признаку", я пока не вижу. Может быть, плохо смотрю :)
Logged
When I see a troll up in the mountains with a necklace of human skulls, I say good luck to him. (c)

Насколько я помню, я был всегда!

Offline Мунин›

  • Бывш. Н. З. Модератора
  • Модератор
  • *****
  • Tolkien.SU(3)xSU(2)xU(1)
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #33 on: 23/09/2006, 13:02:21 »
Умножение на dl - это тоже функция от dl. Ничего, что линейная :-)
На самом деле, я сильно уродски говорю про кручение. Правильно про него говорит epros, вот здесь: http://www.scilog.ru/viewtopic.php?id=1071&p=1 - он даже мне что-то объяснить пытался. См. первый пост, дальше о другом болтали.
Logged
Главным делом жизний вашей может стать любой пустяк.
Надо только твердо верить, что важнее дела нет.
И тогда не помешают вам ни холод, ни жара,
задыхаясь от восторга заниматься чепухой. (Г. Остер)

Offline sisoid›

  • Шпиён
  • Ветеран
  • *****
  • Gender: Male
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #34 on: 19/01/2007, 23:46:06 »
А не может ли кто привести пример неизмеримого по Жордану компакта? :)
Logged

Offline Mrrl›

  • Волшебник-Прогрессор
  • Ветеран
  • *****
  • Gender: Male
  • Древние тайны всех мирозданий мне под силу...
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #35 on: 20/01/2007, 00:28:10 »
Канторово множество не пойдет?
Logged
When I see a troll up in the mountains with a necklace of human skulls, I say good luck to him. (c)

Насколько я помню, я был всегда!

Offline sisoid›

  • Шпиён
  • Ветеран
  • *****
  • Gender: Male
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #36 on: 20/01/2007, 01:33:31 »
Ммм...  С одной стороны, мне упорно кажется, что верхняя мера там стремится к нулю. С другой - граница множества неизмерима, да. Думаю, подойдет. :)  Спасибо.  :)
Logged

Offline Mrrl›

  • Волшебник-Прогрессор
  • Ветеран
  • *****
  • Gender: Male
  • Древние тайны всех мирозданий мне под силу...
    • View Profile
Re: Теория множеств
« Reply #37 on: 20/01/2007, 07:18:46 »
Надо брать канторово множество ненулевой меры - когда сначала выбрасывается 1/4 отрезка, потом 1/6 каждого отрезка, потом 1/10 и т.д. (на каждом шаге 1/(2^n+2). Тогда длина оставшихся отрезков всегда больше 1/2, а итоговое множество не содержит ни обного интервала. И при этом является компактом.
Logged
When I see a troll up in the mountains with a necklace of human skulls, I say good luck to him. (c)

Насколько я помню, я был всегда!

Offline HS›

  • Новичок
  • *
  • Gender: Male
    • View Profile
Теория множеств
« Reply #38 on: 22/12/2017, 22:00:01 »
Основы математики знать нужно обязательно каждому (не забывая, конечно, об основах культуры). И очень желательно основы физики. В последнее время, например, появилось много всяких совершенно абсурдных "теорий" строения и движения Земли и небесных тел. Как-будто машиной времени из Средневековья принесло. А всё от незнания элементарных основ механики, которые ещё и достаточно просто проверяются экспериментально.
« Last Edit: 22/12/2017, 22:03:58 by HS »
Logged
Pages: 1 2 [All]   Go Up
 

+ Quick Reply