"Алиса, девочка моя, не произноси слова за то, что они длинные и красивые, говори только о том, что понимаешь"
Додо
y = arcsin(e
x*x)
Все элементарно:
Аргумент арксинуса - синус, т.е. -1<=e
x*x<=1
т.к. e
x*x >= 1, (положительное число больше 1 в неотрицательной степени)
Функция определена в единственной точке x=0, где равна П/2;
Цитата:
ЗЫ это решение строгое.... как действительно решают в вузах
а вот если б вы не знали этого ХОДА.....я о вводе логарифма
как тогда?
Не уверена, что понимаю, зачем нужн задумываться над тем, что бы было, если бы я не знала того, что знаю... Я бы, наверное, постаралась об этом узнать ;-)
Цитата из: Kэt on 11-11-2003, 23:53:38
Эпиграф:
"Алиса, девочка моя, не произноси слова за то, что они длинные и красивые, говори только о том, что понимаешь"
Додо
Не уверена, что понимаю, зачем нужн задумываться над тем, что бы было, если бы я не знала того, что знаю... Я бы, наверное, постаралась об этом узнать ;-)
задача с арксинусом разумеется верна
вы меня не поняли.....
я говорю о решении которое дал бы школьник которому 10 минут назад расказали про комплексные числа.....
естественно хорошо что знаете :D
но я ж говрю не о студентках вузов ......
однакож.... продолжим......
a^3+b^4=c^5
найти натуральные числа ......
ЗЫ не надо сразу на компе прогонять.... слабо так придумать хоть одну троечку....
Цитата из: Vantela on 17-11-2003, 18:39:26
однакож.... продолжим......
a^3+b^4=c^5
найти натуральные числа ......
ЗЫ не надо сразу на компе прогонять.... слабо так придумать хоть одну троечку....
a=256
b=64
c=32
Упростим:
a=2^x
b=2^y
c=2^z
Исходное уравнение:
2^(3x)+2^(4y)=2^(5z)
Если 3x=4y, то 5z должно быть равно 4y+1
Таким образом, решение двух уравнений
3x=4y,
4y+1=5z
в целых неотрицательных числах будет порождать решение исходного уравнения. Методом раскидывания мозгов я нашел одно решение:
x=8 (a = 2^8 = 256)
y=6 (b = 2^6 = 64)
z=5 (c = 2^5 = 32)
А как такое уравнение:
a^3+b^3+c^3 = d^3
?
d^3=(a+b)^3=a^3+3*a^2*b+3*a*b^2+b^3
Если 3*a^2*b+3*a*b^2 представить ввиде куба некоторого числа, то задача будет решена:
3*a^2*b+3*a*b^2=3*a*b*(a+b).
Одно из чисел должно делится на 3^(2+3*i), где i - натуральное, например на 9. Пусть (a+b)=9, тогда если а=8 и b=1, то
3*a^2*b+3*a*b^2=6^3
Ответ:1^3+6^3+8^3=9^3
Могу предложить такую задачку (довольно простая):
Найти все простые p, такие что числа
2p^3+ 6p^2+ 2p+3
4p^3+10p^2+2p+9
5p^3+10p^2+2p+12
5p^3+ 8p^2+ 7p+5 просты.
Цитата из: Garvarg on 03-12-2003, 10:57:08
Ответ:1^3+6^3+8^3=9^3
Хорошее решение. У меня было
3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3
(почти как 3^2 + 4^2 = 5^2, его нельзя получить приведенным методом).
Кстати, есть формула, которая позволяет получить ВСЕ пифагоровы тройки a^2 + b^2 = c^2
И всё ??? ещё задач :o
Итак, есть задача про Оленя и Волка.
( http://forum.tolkien.ru/index.php?topic=7036.from1091116156;imode )
Показано, что Олень может убежать. А теперь задача - предположим, что она опаздывает на поезд (это если формулировать задачу как о девушке в озере и поклоннике), тогда какое минимальное время ей потребуется, чтобы убежать. С спользованием символа o-малое, естественно.
А сам-то считал? Я иначе как вариационным исчислением не представляю...
Нет, конечно! Хотелось посмотреть, кто как возьмётся. 8)
А может, нафиг? Сложновата задача получается...
Да можно и не решать. Но на безрыбье, как говориться.
Кто жаждет поделиться хорошими мат. задачами - welcome.
Небольшая задача:
Найти все (в т.ч. комплексные) решения уравнения х^9=х, не прибегая к формуле поиска всех корней энной степени (это было бы слишком просто)
Простые вопросы: как выглядит признак деления на 11 для шестнадцатеричной системы счисления (то, что в ней записывается как 11)?
Признак де5ления на 2 в троичной системе счисления?
Про троичную СС: Представляем число в виде: x=a0 + 3*a1 + 9*a2 + ... + 3^n*aN (где x-десятичное число, а aN...a2a1a0 - троичная запись x)
Очевидно, четность каждого слагаемого совпадает с четностью ai, поэтому четность самого числа совпадает с четностью суммы его цифр.
По поводу деления на 11(в 16ричной) - тут тоже довольно просто. числа, кратные 17, отличаются от степеней 16 - ти только на единицу, то справа (нечетная степень), то слева (четная степень). Получаем, что признак делимости точно такой же, как и в десятичной системе для одиннадцати (a0 - a1 + a2 - a3 + ... должно быть кратно 11).
А по поводу уравнения - что если попробовать перенести х и до опупения раскладывать на множители, в том числе и комплексные?
а разложить на комплексные множители без всё той же формулы корней?..
Вообще я имел в виду расписывать разность квадратов вида (x^2n) + 1 в комплексную, а (x^2n) - 1 - в обычную. Если не так, тогда подумаю ишшо. :-\
Аборген, так напишите. Это действительно просто, но просто напишите.
Ладно. Примерно так:
x^9 - x=x(x^8 - 1) = x(x^4 - 1)(x^4 + 1) = x(x-1)(x+1)(x - i)(x+i)(x^4+1) = x(x-1)(x+1)(x - i)(x+i)(x^2 - i)(x^2 + i).
Ну вот. А теперь, поскольку справедливо: i= i^(4n+1), -i= i^(4n+3), Получим x= i^(4n+3)(оно же -i), x= i^(4n+1)(оно же i), а также икс равное плюс-минус корню из этих выражений(сорри, влом было набирать). Ну, и x=0,1,-1. Число n целое. Всего 9 корней, наводит на мысль, что правильно... >:D
Самый коварный раздел математики – теория чисел. Отличается заманчиво легкими формулировками задач и далеко не элементарными решениями. (Если кто сомневается, вспомните хотя бы Теорему Ферма).
А кто-нибудь может решить такую задачу:
a+b+c делится на 30. Докажите, что a^5+b^5+c^5 делится на 30.
Гмы... Я тут уж начал пятые степени расписывать... Идиот... Заучился...
На самом деле все проще!
Составим разность: a^5+b^5+c^5-a-b-c = a^5 - a + b^5 - b + c^5 - c =a(a^2+1)(a-1)(a+1) + b(b^2+1)(b-1)(b+1) + c(c^2+1)(c-1)(c+1).
вот момент истины! Теперь видно, что одно из трех последовательно идущих чисел (например a-1,a,a+1) делится на три и на два, а значит и на шесть, поэтому вся сумма делится на 6. Теперь осталось доказать, что она делится на 5.
Пусть на 5 не делятся те самые последовательные числа. Тогда a,b,c оканчиваются либо цифрой 2, либо цифрой 3, либо 7, либо 8.
Легко проверить, что a^2+1,b^2+1,c^2+1 тогда заканчиваются на 5 или 0, т.е. делятся на 5. В любом случае вся сумма делится на пять. А значит, и на тридцать. А далее - разность чисел кратна 30, вычитаемое кратно 30, чего бы уменьшаемому не быть кратному 30? 8)
Кстати, попутно получили, что число (n^5)-n делится на 30. Интересный факт!
Aborgen, мои поздравления :)
Сама я решала задачу немного по-другому: согласно Малой теореме Ферма,
для любого натурального n, такого что (n,p)=1, выполняется: n^(p-1) – 1 делится на р (р – это простое число). Следовательно, n^4-1 делится на 5 для (n,5)=1, а значит, выражение n(n^4-1) тоже делится на 5 . Остальные рассуждения – как у Вас.
Мне, человеку темному, теорема Ферма незнакома, ни одна из них... Так что пришлось старым, дедовским способом... Но спасибо, хоть мозгами пошевелил. Еще задачки будуть?
Аборген, пять корней указанного вы выписали верно
0,1,-1, i, -i.
Потом указали, что корни из i и -i являются корнями уравнения. Однако, в данном случае корень не является ответом. Можете ли вы их найти, опять-таки, без формулы корня комплексного числа?
Не понимаю, что не так. Подставляя корни из i и -i, получаем верное равенство. Нужна тригонометрическая форма?
to Менин: насчет извлечения корней из комплексного числа тоже не поняла: если не применять формулу «в лоб», остается только представить число в показательной или тригонометрической форме и посчитать. Или есть еще какой хитрый способ?
Цитата:
Еще задачки будуть?
Не вопрос, получайте: :)
В некоей стране живут 13 серых, 15 зеленых и 17 красных хамелеонов. Когда встречаются два хамелеона разного цвета, они оба тут же перекрашиваются в третий цвет (например, серый и зеленый становятся красными). Может ли через некоторое время оказаться, что все хамелеоны станут одного цвета?
Может, последнюю задачу лучше в "логические"?
Задача сводится к проблеме: можно ли уравнять число хамелеонов каких-либо двух цветов? Внимательно приглядевшись, можно увидеть, что при каждом перекрашивании разность между количествами хамелеонов каких-либо двух цветов или не меняется, или изменяется на три. А изначально эта разность везде равна 2 (ну и 4). Поэтому, как ни печально, у нас никогда не будет набора хамелеончиков одного цвета. :'(
Ладно... Ушла искать задачи посложнее :)
Цитата из: aborgen on 04-11-2004, 15:57:24
Не понимаю, что не так. Подставляя корни из i и -i, получаем верное равенство. Нужна тригонометрическая форма?
Вопрос простой: найти корень из I, не пользуясь пресловутой тригонометрической формой (которая и создаёт, собственно, ту формулу, о которой я сначала говорил). Потому что эту самую форму тригонометрическую можно было бы и в самом начале применить, с тем же результатом.
Цитата:
Может, последнюю задачу лучше в "логические"?
Можно и туда. Тем более, что ее все равно уже решили
Цитата:
Вопрос простой: найти корень из I, не пользуясь пресловутой тригонометрической формой (которая и создаёт, собственно, ту формулу, о которой я сначала говорил).
Пораскинув мозгами, можно выйти из положения таким образом:
Нам осталось решить уравнения: x^2=i , x^2= -i.
Обозначим корни этих уравнений: x1=√i, x2= -√i, x3=√-i, x4=-√-i
Предположим, что вычислять это мы не умеем. Ну и ладно. Рассмотрим соотношения между x1 и x3. И обнаружим, что x1*x3=1, а x1+x3=√2. Т. е. по теореме Виета эти числа являются корнями уравнения x^2 - √2 x + 1 =0 , откуда мы их и находим. Так же можно найти другую пару корней. :)
P.S. Лично я предпочла бы воспользоваться формулой…
То, что вы написали, не вполне математически грамотно - под корнем из мнимого/комплексного числа не понимается нечто конкретное, а понимаются все числа, удовлетворяющие условию
Вы учитываете в процессе равенство i^0,5*(-i)^0,5=1.
А между тем, (1/2)^(1/2)*(1+i)*(1/2)^(1/2)*(-1+i)=1/2*(-1+(-1))=-1.
Поэтому у вас и получается при решении уравнения Х^2=i
--(2^0,5)+-(2i)^0,5)/2=(1/2)^0,5*(1+-i). Ответ неверный.
Потому как [(1/2)^0,5*(1-i)]^2=-i.
Цитата:
Поэтому у вас и получается при решении уравнения Х^2=i
--(2^0,5)+-(2i)^0,5)/2=(1/2)^0,5*(1+-i). Ответ неверный.
Вот в этом месте, честно говоря, не поняла Вашу аргументацию
Однако неточности в моем ответе и правда есть, так что приведу более строгое решение:
имеем уравнение: x^2=i.
Пусть w – решение, т е такое число, что w^2=i
Обозначим: w=a+bi, и будем искать вещественные числа a и b.
(a+bi)^2=i
a^2-b^2+2abi=i
Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части. Так что получаем систему: a^2-b^2=0 и 2ab=1.
Из второго уравнения выражаем a=1/2b и подставляем в первое. После преобразований получим: 4b^4-1=0. Это уравнение имеет два вещественных корня:
b1=(1/2)^2, b2=-(1/2)^2.
Находим соответствующие значения a1=(1/2)^2, a2=-(1/2)^2.
Таким образом, w1= (1/2)^2 + i(1/2)^2, w2=-(1/2)^2 -i(1/2)^2 – решения нашего уравнения
Аналогично решаем второе.
Асфодель, а как насчет задач посложнее? я уж заждамшись... ;)
Цитата из: асфодель on 06-11-2004, 21:00:36
Цитата:
Таким образом, w1= (1/2)^2 + i(1/2)^2, w2=-(1/2)^2 -i(1/2)^2 – решения нашего уравнения
Вы имеете в виду (1/2)^(1/2), я надеюсь? (1/2)^2=1/4.
Нда... за опечатки в решении - извиняюсь, никак не привыкну записывать числа в таком виде. А редактор формул в Worde - уж очень муторная вешь ;)
Насчет задач посложнее - пожалуйста:
По пустыне идет караван из 9 верблюдов. Путешествие длится много дней, и, наконец, всем надоедает видеть впереди себя одного и того же верблюда. ;D Сколькими способами можно переставить верблюдов так, чтобы впереди каждого верблюда шел другой верблюд, чем раньше?
"И тишина..." Может, подсказку хотите? ;)
Комбинаторику не люблю... Никогда не любил.
А вообще есть предположение, что 8*8! способов.Если верно, то объясню, а нет - давайте подсказку
Ответ неверный. Но даже неверное решение ценно тем, что позволяет понять ход мыслей решающего. Рискнув самостоятельно воспроизвести Ваш ход мыслей, я спрошу: а не учитывате ли Вы в Вашем решении одну и ту же перестановку несколько раз? И что нужно сделать, чтобы этого избежать? (это подсказка!!!)
Если в такой форме подсказка непонятна, завтра напишу по-человечески :)
Хмы... Так тонко на мою тупость мне ещё никто не намекал ;D . Я так понял, я обнаружил больше перестановок, чем ответе. Значит, я что-то не учел. Точнее, не что-то, а вполне конкретные вещи. Но, говорю, думать по комбинаторике мой мозг в принципе отказывается.
Мой ход рассуждений.
Имеем (в смысле, у нас есть) девять верблюдов: ABCDEFGHI.(Порядок, который всем надоел).
Будем рассматривать все случаи, которые нам необходимо исключить.
Поставим в конец каравана верблюдов АВ. При этом всё, что получается, нам не подходит. Всего перестановок - 7!
Аналогично - с верблюдами в начале каравана ВС, CD, ..., HI. Итого - восемь случаев. Итого ненужных перестановок - 8! Отнимая из 9!, получаем мой ответ. Неверный.
Видать, я не учел какие - то случаи...
А какие - нихт ферштейн.
Другой ход рассуждений.
имеем А и В - два последовательно идущих верблюда (любых).
Имеется восемь случаев их расположения. Каждый из случаев дает 7! перестановок. Опять имеем мой ответ. Но! Факт, что я тупой, весь результат отменяет. Жду помощи... :-\
Что-то Вы скромничаете слишком… ;)
Давайте посмотрим, какие перестановки Вы упустили из виду. (Только можно я обозначу этих окаянных верблюдов цифрами: 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Привычнее как-то.)
Итак, зафиксируем пару (1 2). Все перестановки, содержащие ее, будут «запрещенными» Однако, ставя пару (1,2) в начало каравана, Вы упустите, например, такую перестановку: 3, (1 2), 4,5,6,7,8,9. То есть надо иметь в виду, что выбранная пара может «двигаться» по числовому ряду. Какие-то из случаев попадают в Ваши комбинации (например, это: (3 4), 5,6, (1 2), 7,8,9 – мы его получим, когда выберем пару (3 4)), а какие-то нет.
Вывод: «запрещенных» перестановок больше, чем Вы нашли, а решений, соответственно, меньше.
Это я и имел ввиду, когда писал прошлый пост. А еще мне все лень придумать способ, как посчитать все способы, ничего не упустив и ничего не посчитав лишний раз. не варит моя мозг комбинаторика! Считайте меня сдавшимся...
Так уж сразу и сдавшимся... :-\
Я все-таки предлагаю всем подумать еще дня три, потом напишу свое решение, которое лично мне кажется правильным :)
А я из условия не понял, считать ли "ничего" тем же верблюдом? Т.е, надо ли обязательно переставлять первого верблюда?
Необязательно. Первый верблюд может находиться впереди каравана.
Так как в последнее время новых идей ни от кого не поступало, давайте я напишу свое решение, чтобы покончить наконец с этой "верблюжьей" темой.
Итак, пронумеруем верблюдов, как было сказано выше.
Нам надо найти все перестановки этих чисел, где нет ни одной из пар (1,2),(2,3),(3,4),…,(7,8),(8,9).
В скольких перестановках участвует пара (1,2)? Считая ее за 1 элемент, получим, что число таких перестановок равно 8! Такой же результат получится для остальных семи запрещенных пар.
Теперь рассмотрим перестановки, запрещенные по крайней мере дважды, т е содержащие две запрещенные пары. Возможны два случая: две запрещенные пары либо не имеют общих элементов, либо имеют один общий элемент.
В первом случае объединим вместе элементы каждой пары. У нас останется 7 переставляемых элементов: две пары как целое и пять элементов, не попавших ни в одну из пар. Число таких перестановок равно 7!
Во втором случае три элемента, входящие в две запрещенные пары, должны идти подряд:
(3,4),(4,5) --- (3,4,5). Объединим их. Тогда перестановкам подлежат снова 7 элементов, и число таких перестановок опять равно 7!
Аналогично доказывается, что для k запрещенных пар число перестановок, содержащих все эти k пар, равно Р9-k=(9-k)!
k пар из 8 можно выбрать С8k способами.
По формуле включений и исключений получим, что число перестановок, не содержащих ни одной запрещенной пары, равно
P9- С81 P8+ С82 P7-…+ С88 P1=8!(9-8/1!+7/2!-…+1/8!)=148 329.
Ответ: 148 329 способов.
Цитата из: Erlom-Tiu on 02-08-2004, 12:07:53
Итак, есть задача про Оленя и Волка....
какое минимальное время ей потребуется, чтобы убежать. С спользованием символа o-малое, естественно.
Похоже, что оптимальный алгоритм для Оленя следующий.
Пусть радиус острова равен 4, скорость Волка 4, скорость Оленя 1. Далее, в начальный момент Олень находится в точке (0,0) (центр острова), а Волк - в точке (4,0).
Сначала предположим, что Волк бежит по часовой стрелке с максимальной скоростью. Проведем окружность с центром (0,1/2) и радиусом 1/2, и пустим Оленя по ней со скоростью 1. Нетрудно показать, что он, Волк и центр острова всегда будут на одной прямой. Если Волк замедлится или развернется, траекторию Оленя можно скорректировать: синус угла между этой траекторией и радиусом острова должен быть равен r*v/4, где r - расстояние от Оленя до центра, а v - текущая скорость Волка.
Первая задача Оленя - достигнуть точки, находящейся на расстоянии 4-pi от центра. Если Волк скорости не менял, то Оленю на это потребуется время, равное arcsin(4-pi). Если Волк замедлялся - то еще меньше. После этого Олень бежит по радиусу прямо до забора. Через время pi от этого момента, т.е. через pi+arcsin(4-pi)=4.173454... от начала пути он добежит до забора одновременно с Волком. Тут-то Волк его и съест.
R.I.P.
Есть ли решение лучше?
Задача с удивительно простым (для своей формулировки) ответом.
Дан тетраэдр с ребрами a,b,c,d,e,f (a,b,c образуют треугольник, а d,e,f противоположны им). Чему равен радиус описанной вокруг него сферы? Считаем, что объем тетраэдра уже вычислен и равен V.
Цитата из: Mrrl on 19-01-2005, 23:13:33
Цитата из: Erlom-Tiu on 02-08-2004, 12:07:53
Итак, есть задача про Оленя и Волка....
какое минимальное время ей потребуется, чтобы убежать. С спользованием символа o-малое, естественно.
...
Есть ли решение лучше?
Есть!
Олень начинает двигаться так же. Бежит по маленькой окружности в течение t1=0.491738, добегая до точки (-0.416214,0.222934), потом продолжает движение по касательной, достигая забора в точке (-2.39866,3.201004) в момент t=4.069306. Волк, который бежал по часовой стрелке, окажется в той же точке в тот же момент. Если Волк захочет перехитрить Оленя и развернется, то Олень может скорректировать свой маршрут, и в конечном итоге спастись еще быстрее.
Думаю, что быстрее уже не получится.
Кстати, как это ни невероятно, но Олень может спастись, даже если скорость Волка в 4.60333 раза больше скорости Оленя (чуть меньше корня уравнения sqrt(r^2-1)+arcsin(1/r)=3*Pi/2).
Цитата из: Mrrl on 19-01-2005, 23:44:48
Задача с удивительно простым (для своей формулировки) ответом.
Дан тетраэдр с ребрами a,b,c,d,e,f (d,e,f образуют треугольник, а a,b,c противоположны им). Чему равен радиус описанной вокруг него сферы? Считаем, что объем тетраэдра уже вычислен и равен V.
Ответ.
Пусть S(p,q,r) - площадь треугольника со сторонами p,q,r. Тогда радиус описанной сферы можно определить по формуле
R=S(a*d,b*e,c*f)/(6*V).
(в числителе - выражение, имеющее размерность м4).
Доказательство.
Сначала несколько фактов.
1) инверсия с центром O - преобразование, при котором каждая точка A переходит в точку A', лежащую на луче OA, такую, что OA'=1/OA. При этом преобразовании:
1а) расстояние между образами A' и B' точек A,B равно
A'B'=AB/(OA*OB);
1b) сфера радиуса R, проходящая через точку O, переходит в плоскость, проходящую на расстоянии 1/2R от точки O.
2) Если даны два тетраэдра OABC и OA'B'C', такие, что точки A',B',C' лежат на лучах OA,OB,OC соответственно, то отношение их объемов
V/V'=(OA*OB*OC)/(OA'*OB'*OC')
(доказательства этих утверждений предоставляются читателю )
Пусть V - объем тетраэдра OABC, а A',B',C' - образы точек A,B,C при инверсии с центром O. Тогда объем V' тетраэдра OA'B'C' равен V/(a*b*c)^2 (^ - возведение в степень), по утв.2. Высота этого тетраэдра, опущенная из точки O, равна 1/2R (по утв.1b), следовательно, площадь треугольника A'B'C' (основание тетраэдра) равна S'=3*V'/h=6*V'*R=6*V*R/(a*b*c)^2. Длины сторон треугольника A'B'C' равны d/bc, e/ac, f/ab (по утв.1a). Если мы возьмем треугольник, подобный ему с коэффициентом abc, то его стороны будут равны ad,be,cf. Обозначим его площадь через S. Тогда
S=S'*(abc)^2=6*V*R.
Следующая задача.
Найти объем фигуры, две грани которой - квадраты, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные 8 - правильные треугольники.
Обозначим длину ребра фигуры через a
Пусть высота фигуры равна h. Проведем сечение ее плоскостью, параллельному основаниям на расстоянии t*h от одного из них (t от 0 до 1). В сечении получим восьмиугольник с углами 135 гр и чередующимися сторонами t и 1-t. Его площадь будет многочленом от t степени 2 (кстати, это верно для любой фигуры - выпуклой оболочки двух выпуклых областей, лежащих в параллельных плоскостях), значения которого S(0)=S(1)=a^2, S(1/2)=a^2*(1+sqrt(2))/2. По формуле Симпсона получаем, что объем V=a^2*h*(4+2*sqrt(2))/6. Осталось найти h.
Рассмотрим любую из боковых граней. Ее высота равна a*sqrt(3)/2, расстояние от вершины до оси фигуры - a*sqrt(2)/2, а от основания до оси фигуры - a/2. Отсюда,
h^2+(a*(sqrt(2)-1)/2)^2=3/4*a^2, h=a*sqrt(3-(sqrt(2)-1)^2)/2=a*81/4/2.
Следовательно,
V=a^3* (21/2+23/4)/3
бедный ты, бедный - сам загадываешь, сам разгадываешь.... :)
сочуйствую :'(
пойти что-ли учебник какой почитать...
Так в правилах написано - через неделю надо дать ответ.
Совсем устная задачка (по крайней мере, пункты 1 и 2).
1) По ребрам правильного тетраэдра ползают два паука и муха. Скорость мухи в 2 раза скорости пауков. При любом ли начальном расположении пауки смогут поймать муху?
2) Скорость мухи в 2.1 раза больше скорости пауков, но паукам разрешено ползать по всему объему тетраэдра (а мухе - только по ребрам). Тот же вопрос.
3) (для исследования) Если ответ на какую-нибудь из задач 1,2 - да, то определить максимальное время, которое может продержаться муха (хотя бы в каком-нибудь положении) при оптимальной стратегии всех игроков. Если ответ - нет, определить, на какое расстояние муха может отполсти от ближайшего паука и больше не подпускать его ближе, чем это расстояние (немного коряво, но думаю, понятно. Нижний предел минимума расстояний от мухи до пауков при t->infinity, при оптимальной стратегии всех участников)
У меня вышло, что пауки никогда не поймают муху.
В первой задаче - потому что любая вершина - нечетная. Муха стоит в вершине. Если пауки умные и заходят с двух разных сторон, то муха эвакуируется по третьей.
Вторая задача. Положим, муха в вершине. Тогда пауки ползут по биссектрисам плоских углов при вершине с мухой(иначе задача абсолютно аналогична первой). Чтобы паук поймал муху, достаточно, чтобы расстояния, пройденные пауком и мухой с момента движения мухи относились как 1/2.1 и меньше. А минимум такого отношения - 1/2 - синус 30 градусов. Т.е. паук не поймает муху, и ближе всего он будет когда поползёт перпендикулярно биссектрисе плоского угла. А вот в какой именно момент - это другой вопрос...
Во второй задаче - примерно так, а вот в первой... Ну, сидит муха в вершине. Один паук ползет к ней по ребру, чтобы из вершны выгнать. Но что мешает второму сидеть где-то в засаде и следить, по какому ребру поползет муха?
В любом случае, правильное решение (например второй задачи) должно иметь вид "если муха здесь, а про положение пауков известно то-то и то-то, то муха должна вести себя так-то (либо подождать, либо куда-то побежать, либо бежать, но следить за пауками)"
Кстати,
Сколькими способами можно расставить 25 ладей на шахматной доске 5x5x5, чтобы ни одна не била другую?
5х5х5 - это КАК????????????
Это в трехмерном пространстве. Ладьи там ходят про прямым, параллельным ребрам клеток. Исходно у меня этот вопрос возник про 10-мерную шахматную доску - я пытался сосчитать число стратегий в задаче с учеными и туземцами, - но там совсем ничего не понятно.
Т.е. одна ладья пробивает весь периметр?
Нет, каждая ладья держит под ударом ровно 12 клеток, не считая своей - по 4 в каждом из 3 направлений (или в каждой из 3 пар направлений, если угодно).
Решение задачи про муху и пауков.
1) Если отношение скоростей 2, то пауки ловят муху даже если им разрешено ползать только по ребрам.
Сначала пауки уползают на два противоположных ребра. Потом каждый ползет по своему ребру из конца в конец пока не окажется на проекции мухи на ребро (все непрерывно, поэтому такой момент существует). Скорость проекции мухи вдвое меньше скорости самой мухи, так что паук может удерживаться на проекции, а муха на его ребро уже не заползет. Как только оба паука достигли этой цели, они ползут к концам того ребра, на котором оказалась муха. Она сбежать уже не успевает.
2) Если отношение больше 2, а паукам разрешено ползать по объему, то муха может сбежать (если ее не зажали сразу и она смогла добраться до вершины). Как уже было замечено, если муха сидит в вершине и собирается ползти по ребру, то паук может ее перехватить, если он сидит в конусе с углом при вершине 2*arcsin(vs/vf), где vs - скорость паука, vf - скорость мухи. Поскольку этот угол меньше 60 гр, три конуса не пересекаются и хотя бы один из них свободен. По нему муха убегает в соседнюю вершину и там снова осматривается и бежит по свободному конусу.
На аэродроме, находящемся на экваторе Земли, расположилась эскадрилья самолетов. Перед ними стоит задача: облететь вокруг Земного шара. При этом достаточно, чтобы кругосветное путешествие совершил только один самолет, а остальными можно пожертвовать. Проблема в том, что топливные баки вмещают горючего только на 5000 миль (ровно 1/5 длины экватора), а заправочных станций и запасных аэродромов по дороге нет. Зато самолет может мгновенно передать часть своего запаса горючего (или все горючее) любому оказавшемуся рядом самолету. Если при этом горючего в самолете-доноре не осталось, он упадет - и не жалко. Передавать горючее в последний момент (т.е. самолету с пустыми баками) разрешается. Если потребуется развернуться, это можно сделать мгновенно.
Какое минимальное количество самолетов требуется, чтобы выполнить задачу?
У меня получилось 195.
ошибка почти на порядок
24 самолетов хватит, но, может быть, можно и меньше
Нашла у себя ошибку.
Окончательный ответ: 25. Меньше быть не может.
24 бывает. Их хватит даже для планеты, экватор которой на 1% длиннее.
Скорее всего где-то притаилась арифметическая ошибка.
Лучше я напишу решение. Или еще подождать, может кто решит?
Больше все равно никто не решает. А посмотреть на решение интересно.
Можно считать, что самолет должен перелететь из пункта А в пункт В длины 5 (расстояние, на которое хватает 5-ти баков топлива). В каждом из пунктов есть аэродром, достаточное количество самолетов и одна на всех стратегия.
Оптимальным будет поведение, когда до половины маршрута "героя" сопровождает группа поддержки из пункта А, после половины пути его встречает последний самолет из группы поддержки, вылетевшей из пункта В (у них та же стратегия совместного расходования топлива), передает все свои остатки топлива, "герой" летит дальше. Когда у него закончится топливо его встречает самолет из следующей группы и т.д., пока герой не долетит до пункта В.
Далее заметим, что самый эффективный расход топлива для группы получается, если: вылетают n самолетов, через 1/n расстояния на которое хватает одного бака один из самолетов передает каждому из n-1 самолетов по 1/n бака топлива, а сам погибает; через 1/(n-1) расстояния следующий самолет передает остальным по 1/(n-1) бака топлива, а сам погибает; и т.д... когда остались два самолета они пролетают 1/2 расстояния на которое хватает одного бака, один из самолетов передает другому 1/2 бака, а сам погибает.
При такой стратегии один из n самолетов пролетит расстояние 1+1/2+1/3+...+1/(n-1)+1/n (обозначим Fn).
Можно заметить, что потребуется 4 группы поддержки (одна из пункта А и 3 из пункта В). Пусть количество самолетов в каждой группе - k, l, m, n. Расстояние, которое может пролететь группа из i самолетов по описанной стратегии - Fi.
(строгое доказательство всего этого не буду приводить)
Обозначим r1 - расстояние, которое пролетит "герой" с помощью первой группы поддержки, r2 - расстояние, которое пролетит "герой" с помощью второй группы поддержки и т.д.
A|________r1________|_r2_|_r3_|_r4_|B
| 5 |
Тогда получаем:
r1=Fk
r2=5-(r1+Fl)
r3=5-(r1+r2+Fm)
r4=5-(r1+r2+r3+Fn)
Условие, что первой группы поддержки хватит больше чем на половину пути:
r1>2,5
Условие, что "герой" долетит до пункта В:
r1+r2+r3+r4>=5
Подставляя сюда значения ri получаем неравенство:
8Fk+4Fl+2Fm+Fn>=40
Откуда находятся подходящие значения k, l, m, n, для минимизации общего количества самолетов k+l+m+n.
У меня получилось k=l=10, m=4, n=1.
Да, рассуждения правильные. Кроме последнего пункта - минимум окажется в другой точке, можно выиграть еще один самолет.
Я вообще-то искала перебором (конечно не полным, а с использованием некоторых дополнительных условий), и где-то ошиблась.
Но может существует какой-нибудь более удобный способ искать минимум такой штуки?
Мы в свое время называли этот метод "дубина" (берешь дубину и загоняешь решение туда, куда надо). Попробуйте "пошевелить" решение, не меняя числа самолетов - надо получить максимум функции 8Fk+4Fl+2Fm+Fn, считая k+l+m+n=const.
Да, получается что 24 самолетов хватит, максимум расстояния, которое может пролететь "герой" достигается при k=14, l=6, m=3, n=1 или k=13, l=7, m=3, n=1 (в этих точках значения совпадают), но и k=11, l=9, m=3, n=1 уже хватает, чтобы облететь весь экватор. Для 23 самолетов максимум достигается при k=13, l=6, m=3, n=1 и его уже не хватает.
Все правильно :)
На прямоугольном листе бумаги нарисован круг, внутри которого Миша мысленно выбирает n точек, а Коля пытается их разгадать. За одну попытку Коля указывает на листе (внутри или вне круга) одну точку, а Миша сообщает Коле расстояние от нее до ближайшей неразгаданной точки. Если оно оказывается нулевым, то после этого указанная точка считается разгаданной. Коля умеет отмечать на листе точки, откладывать расстояния и производить построения циркулем и линейкой. Сможет ли Коля наверняка разгадать все выбранные точки менее, чем за (n+1)2 попыток? За какое минимальное количество попыток Коля сможет разгадать все выбранные точки?
В общем, можно за 6*n-2 (и скорее всего, это не минимум). Это число не превосходит (n+1)^2 если n отлично от 2. Со случаем n=2 надо разобраться отдельно.
Честно говоря, я сама не знаю ответа на последний вопрос :).
Поэтому, увидеть решение особенно интересно.
Минимального решения я не нашел. В моем алгоритме не используется даже то, что точка, до которой выдают расстояние - ближайшая. А у вас какая оценка?
Кстати, один ход удалось выиграть (кажется), так что при n>1 достаточно 6n-3 ходов.
Еще две:
Нарисуйте замкнутую 6-звенную ломаную, пересекающую каждое своё звено ровно 1 раз. Самопересечения ломаной не должны происходить в вершинах, звенья не должны иметь общих участков.
Нарисуйте замкнутую 8-звенную ломаную, пересекающую каждое своё звено ровно 2 раза.
Цитата из: Mrrl on 24-12-2005, 22:47:10
... А у вас какая оценка?...
Вопросом я задалась, а до решения пока руки не дошли :( .
(теперь, надеюсь, двусмысленность сообщения пропала)
Сначала введем несколько определений.
Точку назовем "проверенной", если в нее был сделан ход. Построенные окружности разделим на "использованные" (те, на которых уже найдена точка), "отброшенные" (точку на которой мы не нашли и искать не хотим - такие в алгоритме появятся) и "активные" - все остальные, на которых точка еще не найдена. Непроверенную точку, в которой пересекаются две активные окружности, назовем "двойной", а ту, в которой пересекаются три - "тройной".
Пусть P - число сделанных ходов, R - число неугаданных точек, A - число активных окружностей. В начальный момент R=n, P=A=0.
Алгоритм поведения Коли.
A) Если двойных точек нет - делает ход в любую непроверенную точку, лежащую вне построенных окружностей. Варианты:
A1) попал в загаданную точку: P:=P+1, R:=R-1.
A2) не попал. Построенная окружность объявляется активной. P:=P+1, A:=A+1. Остаемся в ситуации A или переходим в ситуацию B.
B) Двойные точки есть, тройных точек нет. Делаем ход в любую непроверенную точку вне построенных окружностей, расстояния от которой до всех двойных точек различны (это можно сделать, построив все серединные перпендикуляры и выбрав точку, не принадлежащую ни одному из них). Варианты:
B1) попал в загаданную точку: P:=P+1, R:=R-1.
B2) появилась тройная точка (не более одной). Построенная окружность объявляется активной. P:=P+1, A:=A+1. Переходим в ситуацию С.
B3) новых тройных точек не появилось. Построенная окружность объявляется активной. P:=P+1, A:=A+1. Остаемся в ситуации A или B.
C) Есть одна тройная точка. Ходим в нее. Варианты:
C1) попали в загаданную точку. Ровно три окружности объявляются использованными. P:=P+1, A:=A-3, R:=R-1. Переходим в ситуацию A или B.
C2) не попали, новых тройных точек не появилось. Новую окружность объявляем активной. P:=P+1, A:=A+1. Переходим в ситуацию A или B.
C3) не попали, появилась ровно одна тройная точка. Новую окружность объявляем активной. P:=P+1, A:=A+1. Остаемся в ситуации C.
C4) не попали, появилось более одной тройной точки. Новую окружность отбрасываем. P:=P+1. Переходим в ситуацию A или B.
Рассмотрим величину S=P+6*R-2*A+c, где c=0 в ситуациях A или B, и с=1 в ситуации С.
Нетрудно проверить, что эта величина ни при каком ходе не возрастает, а при любом ходе из ситуации A уменьшается по меньшей мере на 1. Далее, очевидно, что в ситуациях A или B выполняется соотношение A<=2R, а в ситуации C: A<=2R+1. Поэтому при R>0 выполняется утверждение S>0.
Первые два хода всегда делаются в ситуации A, поэтому после них S<=6*n-2. В конце игры R=A=c=0, откуда P=S<=6*n-2, что и требовалось доказать.
Назовем натуральное число n интересным, если для него можно выбрать натуральное число M такое, что сумма цифр числа M равна n, и само M делится на n. Найти все интересные числа.
Хотя я и не знаю, может ли это считаться логической загадкой. :-\
пока из разряда гипотез - числа, делящиеся на сумму своих цифр? :)
Гипотеза не проходит - 902 делится на 11, поэтому 11 интересное. Моя гипотеза - все натуральные числа.
Впрочем, это очевидно. Рассмотрим последовательность остатков 10k mod n. С какого-то момента k0 она будет периодической с периодом d. Тогда M=10k0*(10n*d-1)/(10d-1)
Назовем натуральное число n забавным (по модулю 10), если число M, равное сумме чисел из периода, образованного делением степеней 10 на n, делится на n. Найти все забавные (по модулю 10) числа.
Пример: рассмотрим число 7.
10 = 7*1 + 3
100 = 7*14 + 2
1000 = 7*142 + 6
10000 = 7*1428 + 4
100000 = 7*14285 + 5
1000000 = 7*142857 + 1
10000000 = 7*1428571 + 3
.................
M = 3 + 2 + 6 + 4 + 5 + 1 = 21 = 7*3
Следовательно, число 7 - забавное.
Сам ничего положительного сказать не могу, но интерес определенный есть. Поэтому вопрос: не побьют, если в ru_math спросить? :)
Если число на 3 не делится, то оно, очевидно, забавное. Осталось рассмотреть те, которые делятся - и там могут возникнуть сложности.
Я тупой. :( Почему очевидно и почему забавное (или наоборот)? :)
Остатки от деления образуют геометрическую прогрессию (по модулю n) с коэффициентом 10. Сумму такой прогрессии мы считать умеем. Там приходится делить на 9, но если n на 3 не делится, то это возможно. А в числителе 0. Значит, и в ответе 0.
Да, в ru_math бы сильно поколотили. :)
Так вот, я действительно тупой. У меня получилось, что n в сумме прогрессии не фигурирует. Но я, очевидно, не так (или не то) считал. Поясните подробнее, пожалуйста. :-[
Итак, период это когда 10^k=10^m (mod n), где 0<=k<m. Сумма остатков от деления 10^k+10^(k+1)+...+10^(m-1) на n равна S=(10^m-10^k)/9 (mod n). Последнее выражение имеет смысл только если n на 3 не делится - и тогда из 10^k=10^m (mod n) следует, что S=0.
Если n=3*q (где q на 3 не делится), то 10^k=10^m (mod n) эквивалентно 10^k=10^m (mod q). Сумма прогрессии по модулю q равна, как и раньше, (10^m-10^k)/9 (mod q), т.е. нулю, а сумма по модулю 3 равна m-k (mod 3). Таким образом, число вида 3*q забавно тогда и только тогда, когда период дроби 1/q делится на 3. Аналогично, число n=9*q, где q не делится на 3, забавно тогда и только тогда, когда период 1/q делится на 9 (но сейчас я не понимаю, как упростить эти критерии - и вообще, как найти длину периода).
Что касается чисел, которые делятся на 27, над ними все еще надо думать.