Тема: Балрог и Гэндальф. Падение в недра Мории

[Wintera›]

Родом из чата. Возможны пересечения с логами...

Итак, дано:

Существует некоторая известная последовательность событий:

2011/05/30 12:12:09 Balin: 1. Гэндальф стучит посохом по мосту
2011/05/30 12:12:18 Balin: 2. Балрог делает шаг вперед
2011/05/30 12:12:26 Balin: 3. Мост под ним проваливается
2011/05/30 12:12:32 Финрод: 3.мост падает
2011/05/30 12:12:39 Balin: 4. Балрог падает с обломками моста в пропасть
2011/05/30 12:13:16 Balin: 5. Гэндальф тяжело опирается на посох, в каковой момент его колени захлестывают хвосты бича длиной 10+ метров. =)

2011/05/30 12:15:08 Balin: ...ну и, соответственно, поскольку Гэндальф еще уцепился пальцами, которые соскользнули, и успел что-то крикнуть, выходит, хвосты его только сдернули, но не держали впрямую...

Есть Гэндальф и есть Балрог. Оба начинают падение с одинаковой высоты с начальной скоростью v=0. В разное время: Гэндальф отстает, допустим, на dY = 50 метров.
Имеется допущение, что в конце пути вниз балрог не должен упасть на Гендальфа сверху, иначе Гэндальф не выживет ни Серым, ни Белым.

Вопрос: как должны соотноситься глубина пропасти и параметры, характеризующие Гэндальфа и Балрога, как два различных физических объекта - чтобы Гэндальф не приземлился раньше Балрога? Ну и что это за параметры должны быть?

Помогите сформулировать адекватную модель и решить задачу

[Wintera›]

Простейший вариант: пренебречь сопротивлением воздуха: равноускоренное падение.
Тогда для обоих уравнение движения выглядит как:
y(t)=y₀ - gt²/2

В этом случае расстояние между падающими изменяться не будет, потому что ускорение одинаково. Глубина пропасти под Мостом = ∞

По хорошему, надо учесть сопротивление воздуха, и тогда более мелкий в размерах Гэндальф должен падать быстрее Балрога. И в этом случае гдубина, с которой он может позволить себе упасть уже будет ограничена...

Что еще нужно учесть?

[Balin›]

Я таки не согласен с тем, что более мелкий Гэндальф должен падать быстрее Балрога.

При одинаковых "моделях" Гэндальфа и Балрога при увеличении линейных размеров в Х раз площадь будет изменяться с каким-то коэффициентом по линии X^2, а объем - X^3.

В формуле a_i=g-k*S/m масса и площадь поверхности (испытывающей сопротивление) тела обратно пропорциональны - соотношение двух линейных величин. Но масса-то - ро*V, зависит от объема... и расти должна быстрей. В таком случае вычитаемое уменьшается, ускорение сохраняется.

Хм?

[Wintera›]

То есть мы считаем Гэндальфа и Балрога однородными кубиками?
В этом варианте - да, падение балрога будет замедляться медленнее. Сдругой стороны, наличие у балрога плоских и тонких крыльев не позволяет считать его кубиком с одновременно нарастающими площадью S=X² и объемом V=X³, S будет расти быстрее...

Только вот еще что. Уточненная мной формула сопротивления воздуха выглядит как F=C/2*ρ*v²*S, v - скорость. И по достижении некоторого значения скорости движение должно стать равномерным. Вопрос в том, у кого в данный момент скорость окажется больше, а я не помню с лёту, как это уравнение должно решаться...

[Naugperedhel›]

По моему это напоминает задачу о движении сферических коней балрога и Гендальфа в вакууме.

На самом то деле, мы постигли всю глубину пропасти Дьюрина низменных помыслов Джексона-создателя фильма. Толкинистов давно волновал вопрос, откуда у балрога крылья и зачем они ему! Причем летать он на них не мог, иначе бы вылетел бы из пропасти и...
Джексону просто нужна была эффектная сцена мочилова Гендальфа и балрога в полете. Как они могли встретиться, если балрог упал намного раньше? Надо как то затормозить падение балрога. Балрог мог тормозить падение парением с помощью срочно придуманных крыльев. Вот и всё.

[Wintera›]

Та-а-ак. То есть крыльев на самом деле не было?

[Balin›]

"Филипп Филиппович взял трубку, прислушался и вдруг взволновался. " (с)

" -- Как  же не взволноваться? У меня у самого поджилки затряслись!  Бух!
Раз! Барон на бок!" (с)

http://tolkien.su/forum/index.php/topic,18409.0.html

...и особенно http://tolkien.su/forum/index.php/topic,15607.20.html

Вот тут во всех ракурсах обсуждалась балрожья "крылатость" или ее отсутствие. =)

[Naugperedhel›]

Ну там написано про тень, похожую на крылья

His enemy halted again, facing him, and the shadow about it reached out like two vast wings.
Его враг остановился опять, лицом к нему, а тень вокруг потянулась, как два огромных крыла.

но как мне кажется, скорее это сравнение, гипербола.
Правда дальше вновь крылья упоминаются

It stepped forward slowly on to the bridge, and suddenly it drew itself up to a great height, and its wings were spread from wall to wall
Оно шагнуло вперед медленно на мост, и вдруг оно обратилось до большого роста, и крылья  распространились от стены к стене.

Если бы у балрога были реальные крылья от стены до стены, он бы ими зацепился за мост.

Но при падении тень исчезла.

With a terrible cry the Balrog fell forward, and its shadow plunged down and vanished.
С страшным криком Балрог упал вперед, и его тень скользнула вниз и исчезла.

И вообще там балрог описывается как огненная тень, даже не персонифицируется как "он".

Something was coming up behind them. What it was could not be seen: it was like a great shadow, in the middle of which was a dark form, of man-shape maybe, yet greater; and a power and terror seemed to be in it.

It came to the edge of the fire and the light faded as if a cloud had bent over it. Then with a rush it leaped across the fissure.

The dark figure streaming with fire raced towards them.
Что-то шло позади них. Что это было не было видно: это было похоже на большую тень, в середине которой была темная фигура, в форме человека, может быть, еще больше, и мощь и жестокость, виднелась в нем и, прежде чем она
Он пришел к краю огня и свет погас, как будто облако заслонило его. Тогда оно быстро прыгнуло через трещину.
Темная фигура с потоками огням помчалась к ним.

Так что можно много чего говорить по поводу плотности и массы балрога, проницаемости и трения воздуха и т.д.

[Wintera›]

Ага, понятно. Ладно, пусть будет сферический толкинистический балрог (X=Y=h) отдельно, крылатый джексоновский (X=Y, X,Y>>h) отдельно... Кстати, представление о расщелине как о шахте лифта позволяет эту самую вероятную крылатость оценить численно.

Получается, что у задачи есть два случая (для любого балрога). В первом торможение за счет сопротивления воздуха столь незначительно, что можно им пренебречь...

Во втором скорость должна достигнуть такого предела, что сопротивление воздуха сравняется с силой тяжести. Из формулы, приведенной выше, установившаяся скорость равна:

V_уст²=(2*g*m)/(C*ρ₀*S) ~ ρ*V²/S

...и тут действительно уже всё зависит не только от размеров, но и от разницы плотностей Гэндальфа и Балрога. Говорить можно много, а получится ли что-нибудь определенное сказать, или опять мало данных...


upd. И я все-таки добавлю сюда цитату из чата о возможной проницаемости балрога Хоть в свете предыдущих постов вопрос уже немного спорный.

Скрытый текст (скрыть/показать)

2011/05/30 12:32:41 Винтера: Трение о воздух будем считать одинаковым для балрога и Гендальфа =)
2011/05/30 12:33:42 naugperedhel: почему вдруг? Балрог мог быть как сгустком плазмы, так и комком лавы.
2011/05/30 12:34:17 Винтера: 12:33:42 - ну и что? Воздух один и тот же
2011/05/30 12:37:26 Винтера: Или мы считаем, что воздух может проходить сквозь балрога?
2011/05/30 12:37:35 Винтера: Тогда плохо :-/
2011/05/30 12:38:19 Винтера: Не сорвется ли тогда балрог в турбулентность?
2011/05/30 12:40:27 Balin: Нет, думаю, вне зависимости от материала балрога воздух сквозь него проходить не мог. =)

2011/05/30 12:41:29 Balin: ...поскольку сведений о его неоднородности нет, это означало бы, что сквозь балрога могли бы проникать не только воздушные струи...
2011/05/30 12:41:51 Винтера: ...но и Гэндальф?!
2011/05/30 12:42:20 Balin: В общем, я думаю, их можно считать вполне материальными. =)

[Elentirmo›]

Я как-то поднимал подобный вопрос еще на толкин.ру. Но с другой позиции. Если принять идеальные условия... Время падения известно (засекал - 70 сек примерно). Легко высчитывается приблизительная глубина пропасти (без учета разных сопротивлений воздуха и проч.) - ок. 27 км.

[Balin›]

Elentirmo, интересно, а откуда Вы смогли вычислить время? =)

Я тут поломал голову - пока не понял, где ж у нас можно посчитать секунды. =)

[Elentirmo›]

Время я засекал по секундомеру, сидючи у экрана (вторая серия, пролог, падение Гэндальфа). Формула расстояния, которое тело пролетает в свободном падении под силой тяжести, известна из школьного курса физики. Вот и посчитал. Время по секундам получилось 70 секунд (вроде так, точно не помню). Отсюда, из формулы, получаем пролетное расстояние 27 кэмэ.