Здесь больше нет рекламы. Но могла бы быть, могла.


Ответ

Имя:
E-mail:
Тема:
Иконка сообщения:

подсказка: нажмите alt+s для отправки или alt+p для предварительного просмотра сообщения


Сообщения в этой теме

Автор: Mrrl›
« : 04/09/2006, 19:30:23 »

Итак, период это когда 10^k=10^m (mod n), где 0<=k<m. Сумма остатков от деления 10^k+10^(k+1)+...+10^(m-1) на n равна S=(10^m-10^k)/9 (mod n). Последнее выражение имеет смысл только если n на 3 не делится - и тогда из 10^k=10^m (mod n) следует, что S=0.

Если n=3*q (где q на 3 не делится), то 10^k=10^m (mod n) эквивалентно 10^k=10^m (mod q). Сумма прогрессии по модулю q равна, как и раньше, (10^m-10^k)/9 (mod q), т.е. нулю, а сумма по модулю 3 равна m-k (mod 3). Таким образом, число вида 3*q забавно тогда и только тогда, когда период дроби 1/q делится на 3. Аналогично, число n=9*q, где q не делится на 3, забавно тогда и только тогда, когда период 1/q делится на 9 (но сейчас я не понимаю, как упростить эти критерии - и вообще, как найти длину периода).
  Что касается чисел, которые делятся на 27, над ними все еще надо думать.

               


               

      
Автор: Ethillen›
« : 02/09/2006, 00:54:36 »

Да, в ru_math бы сильно поколотили. :)

Так вот, я действительно тупой. У меня получилось, что n в сумме прогрессии не фигурирует. Но я, очевидно, не так (или не то) считал. Поясните подробнее, пожалуйста. :-[

               

               
Автор: Mrrl›
« : 31/08/2006, 18:34:26 »

Остатки от деления образуют геометрическую прогрессию (по модулю n)  с коэффициентом 10. Сумму такой прогрессии мы считать умеем. Там приходится делить на 9, но если n на 3 не делится, то это возможно. А в числителе 0. Значит, и в ответе 0.

               

               
Автор: Ethillen›
« : 31/08/2006, 18:21:38 »

Я тупой. :(   Почему очевидно и почему забавное (или наоборот)? :)

               

               
Автор: Mrrl›
« : 31/08/2006, 18:08:27 »

Если число на 3 не делится, то оно, очевидно, забавное. Осталось рассмотреть те, которые делятся - и там могут возникнуть сложности.

               

               
Автор: Ethillen›
« : 31/08/2006, 18:01:54 »

Сам ничего положительного сказать не могу, но интерес определенный есть. Поэтому вопрос: не побьют, если в ru_math спросить? :)

               

               
Автор: Ethillen›
« : 17/07/2006, 11:23:06 »

Назовем натуральное число n забавным (по модулю 10), если число M, равное сумме чисел из периода, образованного делением степеней 10 на n, делится на n. Найти все забавные (по модулю 10) числа.

Пример: рассмотрим число 7.

10 = 7*1 + 3
100 = 7*14 + 2
1000 = 7*142 + 6
10000 = 7*1428 + 4
100000 = 7*14285 + 5
1000000 = 7*142857 + 1
10000000 = 7*1428571 + 3
.................
M = 3 + 2 + 6 + 4 + 5 + 1 = 21 = 7*3

Следовательно, число 7 - забавное.

               

               
Автор: Mrrl›
« : 13/07/2006, 04:11:59 »

Гипотеза не проходит - 902 делится на 11, поэтому 11 интересное. Моя гипотеза - все натуральные числа.
Впрочем, это очевидно. Рассмотрим последовательность остатков 10k mod n. С какого-то момента k0 она будет периодической с периодом d. Тогда M=10k0*(10n*d-1)/(10d-1)

               

               
Автор: aborgen›
« : 13/07/2006, 00:45:27 »

пока из разряда гипотез - числа, делящиеся на сумму своих цифр? :)

               

               
Автор: Ethillen›
« : 12/07/2006, 23:42:14 »

Назовем натуральное число n интересным, если для него можно выбрать натуральное число M такое, что сумма цифр числа M равна n, и само M делится на n. Найти все интересные числа.

Хотя я и не знаю, может ли это считаться логической загадкой. :-\

               

               
Автор: Mrrl›
« : 09/01/2006, 12:48:54 »

Сначала введем несколько определений.
Точку назовем "проверенной", если в нее был сделан ход. Построенные окружности разделим на "использованные" (те, на которых уже найдена точка), "отброшенные" (точку на которой мы не нашли и искать не хотим - такие в алгоритме появятся) и "активные" - все остальные, на которых точка еще не найдена. Непроверенную точку, в которой пересекаются две активные окружности, назовем "двойной", а ту, в которой пересекаются три - "тройной".
Пусть P - число сделанных ходов, R - число неугаданных точек, A - число активных окружностей. В начальный момент R=n, P=A=0.

Алгоритм поведения Коли.

A) Если двойных точек нет - делает ход в любую непроверенную точку, лежащую вне построенных окружностей. Варианты:
A1) попал в загаданную точку: P:=P+1, R:=R-1.
A2) не попал. Построенная окружность объявляется активной. P:=P+1, A:=A+1. Остаемся в ситуации A или переходим в ситуацию B.

B) Двойные точки есть, тройных точек нет. Делаем ход в любую непроверенную точку вне построенных окружностей, расстояния от которой до всех двойных точек различны (это можно сделать, построив все серединные перпендикуляры и выбрав точку, не принадлежащую ни одному из них). Варианты:
B1) попал в загаданную точку: P:=P+1, R:=R-1.
B2) появилась тройная точка (не более одной). Построенная окружность объявляется активной. P:=P+1, A:=A+1. Переходим в ситуацию С.
B3) новых тройных точек не появилось. Построенная окружность объявляется активной. P:=P+1, A:=A+1. Остаемся в ситуации A или B.

C) Есть одна тройная точка. Ходим в нее. Варианты:
C1) попали в загаданную точку. Ровно три окружности объявляются использованными. P:=P+1, A:=A-3, R:=R-1. Переходим в ситуацию A или B.
C2) не попали,  новых тройных точек не появилось. Новую окружность объявляем активной. P:=P+1, A:=A+1. Переходим в ситуацию A или B.
C3) не попали,  появилась ровно одна тройная точка. Новую окружность объявляем активной. P:=P+1, A:=A+1. Остаемся в ситуации C.
C4) не попали,  появилось более одной тройной точки. Новую окружность отбрасываем. P:=P+1. Переходим в ситуацию A или B.

Рассмотрим величину S=P+6*R-2*A+c, где c=0 в ситуациях A или B, и с=1 в ситуации  С.

Нетрудно проверить, что эта величина ни при каком ходе не возрастает, а при любом ходе из ситуации A уменьшается по меньшей мере на 1. Далее, очевидно, что в ситуациях A или B выполняется соотношение A<=2R, а в ситуации C:  A<=2R+1. Поэтому при R>0 выполняется утверждение S>0.

Первые два хода всегда делаются в ситуации A, поэтому после них S<=6*n-2. В конце игры R=A=c=0, откуда P=S<=6*n-2, что и требовалось доказать.

               

               
Автор: shumel›
« : 25/12/2005, 22:57:17 »


Цитата из: Mrrl on 24-12-2005, 22:47:10
... А у вас какая оценка?...


Вопросом я задалась, а до решения пока руки не дошли  :( .

(теперь, надеюсь, двусмысленность сообщения пропала)

               

               
Автор: shumel›
« : 24/12/2005, 23:19:19 »

Еще две:

Нарисуйте замкнутую 6-звенную ломаную, пересекающую каждое своё звено ровно 1 раз. Самопересечения ломаной не должны происходить в вершинах, звенья не должны иметь общих участков.

Нарисуйте замкнутую 8-звенную ломаную, пересекающую каждое своё звено ровно 2 раза.

               

               
Автор: Mrrl›
« : 24/12/2005, 22:47:10 »

Минимального решения я не нашел. В моем алгоритме не используется даже то, что точка, до которой выдают расстояние - ближайшая. А у вас какая оценка?
  Кстати, один ход удалось выиграть (кажется), так что при n>1 достаточно 6n-3 ходов.

               

               
Автор: shumel›
« : 24/12/2005, 22:34:38 »

Честно говоря, я сама не знаю ответа на последний вопрос  :).
Поэтому, увидеть решение особенно интересно.