Тема: О методах Кристобаля Хунты

[Мёнин›]

После разговора о заведомо неверном аргументе захотелось покопаться в парадоксах научного познания ещё немного.

Процитирую известное произведение:

— Голубчики, — сказал Фёдор Симеонович озабоченно, разобравшись в почерках. — Это же проблема Бен Бецалеля. Калиостро же доказал, что она не имеет решения.

— Мы сами знаем, что она не имеет решения, — сказал Хунта, немедленно ощетиниваясь. — Мы хотим знать, как её решать.
— Как-то странно ты рассуждаешь, Кристо... Как же искать решение, когда его нет? Бессмыслица какая-то...
— Извини, Теодор, но это ты очень странно рассуждаешь. Бессмыслица — искать решение, если оно и так есть. Речь идёт о том, как поступать с задачей, которая решения не имеет. Это глубоко принципиальный вопрос...

А. и Б. Стругацкие. «Понедельник начинается в субботу»

Объясните, кто может, для чего, по вашему мнению или по вашим знаниям, может быть полезным ставить нерешаемую задачу.

Cтатья в Википедии с тем же названием и одним из возможных ответов.

В первом приближении, очевидное направление исследования - при постановке нерешаемой в общем виде задачи можно находить частные и приближённые решения, полезные для практических целей.
Также, можно попробовать определить эквивалентные задачи, чтобы свести эту задачу к более очевидной, или другие задачи свести к данной.

[Balin›]

Есть задача. Есть методы решения. А решения нет.

Если мы не оставляем возможности изменить начальные условия, то

1. Имеет смысл искать новые методы, с использованием которых задача решится;

2. Имеет смысл искать альтернативные способы описания задачи, для которых может быть найдено решение и старыми методами;

3. Имеет смысл попытаться доказать, что задача неразрешима в принципе (таким образом можно убедиться в правомочности формулирования других задач для того же множества условий. Если множество задач, которые возможно поставить при данных условиях для выяснения конкретного вопроса, является ограниченным, то этот результат может являться доказательством ad absurdum для другой задачи из того же множества, либо этапом доказательства методом исключения...).

Если же с самого начала установить, что задача не имеет решения в принципе, можно попытаться определить, чего же в данном случае не хватает для решения (или что делает его невозможным). В случае, когда задача входит в более широкий класс задач (возможно, еще не решенных), стоит определить, свойственно ли это для всех задач этого класса, а если не для всех, то для каких еще...

Ну и конечно надо иметь в виду требуемую точность решения.

[Мёнин›]

Приближённые методы существуют для гораздо большего множества задач, чем аналитические решения. Строгие доказательства есть у несуществования аналитических решений.

Альтернативное описание задачи очень часто означает частный случай начального описания; хотя нередко оказывается, что нам и было нужно это "частное".

Ещё?

Да, извиняюсь, подзабыл-с матлогику - какое множество называется здесь "ограниченным"?

[пьер›]

Ставить в принципе не решаемую задачу нужно для того, чтобы постоянно и до бесконечности выбивать ассигнования на свой институт, лабораторию и т.д.

[Мёнин›]

Логично, но это не по части нашего раздела.

[Мумр›]

В книге была упомянута задача, для которой доказано, что она не решаема. Значит, решить ей можно, только нарушив логику доказательства. Фактически, сформулировав новую задачу.

Иначе получается квадратура круга. Ну нельзя число пи выразить таким образом. 

[Мёнин›]

Для числа пи существуют приближённые решения.
А для трисекции угла (тоже нерешаемой в обычных терминах) есть решение - с помощью построения прибора, который при этом можно построить с циркулем и линейкой.

Если решение нарушает правила доказательства - оно неверное, т.е. не решение вовсе.

[Мумр›]

Для числа пи существуют приближённые решения.

Я не говорю про приближённые. А про точные условия задачи. Доказано, что квадратура круга линейкой и циркулем невозможна. Значит, задача с этими условиями не имеет решения. Приближённые решения - это уже другая задача.

[Мёнин›]

Это приближённое решение той же задачи - строго выполнена иная задача (найти решение для разницы для любого эпсилон больше нуля), которое, однако, полезно практически.

Что нерешаемые задачи являются нерешаемыми - это Кристобаль Хунта, думается мне, и сам знал...

Кстати, вот та же формулировка "найти решение для разницы для любого эпсилон больше нуля", весьма-таки важная вещь для понятия предела в точке, при том, что функция в этой точке может быть и не определена (то есть нахождение указанного отношения в точке невозможно; однако, поди ж ты, половина мат.анализа на этом стоит...).

[Белькар Горьколист›]

Имеется практическая проблема, которую как-то надо решать. Если в заданной постановке проблема неразрешима, надо подумать, как ее изменить, чтобы решить если не саму задачу, то хотя бы близкую к ней.

[Mrrl›]

Кстати, формулировки "задача не имеет решения" и "задачу нельзя решить", как я их понимаю, несколько различаются. Например, задача о квадратуре круга имеет вполне конкретное решение (квадрат со стороной sqrt(pi)), но найти (получить) его заданными в условии средствами нельзя. И наоборот, уравнение x^2+1=0 решений в действительных числах не имеет, но решить его мы можем - есть вполне конкретный алгоритм, который выдает ответ "No solution". Может быть, у Стругацких речь шла о втором варианте? Вроде того, что для данной проблемы доказано, что решений нет, но алгоритма, который позволил бы получить этот результат (или найти решение) для более широкого класса проблем, еще не придумано?

[Мёнин›]

У Стругацких кажется всё-таки скорее первый вариант. Можно прочитать в обе стороны: нерешаемость задачи некоторыми методами тоже в некоторых случаях доказуема.

[Mrrl›]

... Можно прочитать в обе стороны: нерешаемость задачи некоторыми методами тоже в некоторых случаях доказуема.

Конечно. И в этом случае актуально все вышеизложенное - изменение или сужение задачи, расширение списка возможных методов, поиск приближенного решения.