Нет возможности нарисовать свою мысль, попробую изложить. Представьте себе две окружности единичного радиуса с центрами в точках А и D. Они пересекаются в точках B и С. Легко подобрать расстояние между центрами окружностей так, чтобы отрезок BC тоже был единичным. Иначе говоря, ромб ABCD составлен из двух равносторонних треугольников, у которых сторона ВС общая, а вершины А и D лежат в разных сторонах от нее.
Берем этот ромб и начинаем вращать вокруг точки А. У нас будут получаться точки B', C', D'. Ясно, что точки B' и C' будут всегда находиться на окружности с центром в А. А точка D' покинет центр второй окружности и будет сначала внутри этого второго круга, а в какой-то момент выйдет из него. В силу непрерывности нашего преобразования D -> D' мы можем гарантировать, что есть положение D' ровно на границе второго круга (т.е. на единичной окружности с центром D). Думаю, что в таком положении точки A, B, C, D, B', C', D' и будут искомыми точками. Легко видеть (кто представил себе чертеж), что единичную длину будут иметь отрезки: AB, AC, AB', AC', BC, BD, CD, DD', B'C', B'D', C'D'.
Загадайте любые три точки, и вы увидите, что хоть одна пара из них есть в этом списке.
Есть одна проблема - доказать, что никакие три точки не окажутся на одной прямой... Примерно понятно, как это делать, но мне лень...