Тема: Земной шар (простая стереометрия)

[Мёнин›]

Для простоты считаем Землю сферической.

1. Задача из сборника Перельмана или чего-то происходящего:
Вертолёт вылетает из центра Санкт-Петербурга, берёт направление на север и летит тысячу километров по прямой. Поворачивает на восток, и летит тысячу километров по прямой. Плворачивает на юг, то же, поворачивает на запад, то же.
В какой стороне от Петербурга он окажется?
Ответ два раза не банален.

Ещё несколько простых вещей.
2. Найти окружность на земной поверхности с центром на Северном полюсе, диаметр которой
а) ровно вдвое меньше длины окружности;
б) втрое.

3. Вертолёт вылетает из некоторой точки земли, берёт направление на восток и летит прямо. Через сколько километров он достигнет экватора?

4. Вертолёт вылетает из точки, находящейся на 100 км южнее Северного Полюса.
Он берёт курс на восток, летит 100 км. Затем поворачивает на запад, пролетает 100 км. Поворачивает на восток — и так пока не пролетит 10000 км.
На какой примерно широте он окажется?

4а. Задача, которую я не могу решить без машинного подсчёта — насколько вертолёт сдвинется по долготе. Только предполагаю, что сдвинется.

[Balin›]

Сейчас насыплю неграмотных версий. =)

В моем понимании "на восток по прямой" и "на запад по прямой" означает все-таки движение по параллели. Не кратчайший путь.
То есть т.н. локсодромия, а не ортодромия.

С "на север" и "на юг", кажется, все просто: меридиан.

Получается криволинейный четырехугольник, который располагается по 2 меридианам и по 2 параллелям. Незаконченный, т. к. расстояние по меридианам выходит одинаковым, а вот смещение на разной широте по линиям "восток-запад" даст смещение на разное количество градусов. Кажется, что вертолет должен быть к востоку от Петербурга.

Если я что-то упустил и "прямая" должна пониматься в смысле ортодромии, то должен быть уклон "четырехугольника" к югу, кажется. И будет юго-восток.

2. Вопрос мне пока не слишком понятен, потому что я не дошурупил, где тут уход от формулы L=2*Pi*R (или L=Pi*D). =)

Или имеется в виду "диаметр" как линия-по-земной-поверхности?

3. Локсодромическая кривая никогда. =) Или точка уже на экваторе. В случае полюса двигаться вертолет вообще не должен: нет "востока".

Как будет выглядеть (математически) спиралевидное нечто, которое должно образовываться при пересечении параллелей под некоторыми углами, я пока додуматься не смог. Есть предположение, что вертолетик, понимаемый в смысле материальной точки, может иметь какие-нибудь интересные асимптоты. Не было бы условия про восток, он должен был бы просто спуститься/подняться по меридиану.

Для простоты считаем Землю сферической.

4. Вертолёт вылетает из точки, находящейся на 100 км южнее Северного Полюса.
Он берёт курс на восток, летит 100 км. Затем поворачивает на запад, пролетает 100 км. Поворачивает на восток — и так пока не пролетит 10000 км.
На какой примерно широте он окажется?

4а. Задача, которую я не могу решить без машинного подсчёта — насколько вертолёт сдвинется по долготе. Только предполагаю, что сдвинется.

4. При формулировке без "прямых" - движение по параллелям. Широта равна исходной, в градусах можно отдельно посчитать. =)

Также при такой формулировке достаточно посмотреть, что 10000 км содержит 100 км 100 раз, четное число.  Стало быть - в исходную точку.

[Mrrl›]

Судя по задаче 3, "вылететь на восток и лететь по прямой" означает, все-таки, полет по дуге большого круга. Так что в первой задаче наверняка будет смещение на юг, а вот на восток... сразу не очевидно. На втором сегменте он смещается на юг сильнее, чем на 4-м, а значит, смещение на восток (по долготе) будет меньше ожидаемого.

В задаче 2 диаметр - то, что измеряется по земной поверхности. Так что L=2*D выполняется для экватора, а L=3*D - считайте сами (первый пришедший в голову ответ оказался правильным).

3 - слишком просто.

А вот 4 - надо считать. Окажется недалеко от экватора, но с какой скоростью будет туда сходиться...

UPD. Нет, к экватору и близко не подлетит. Даже до широты Москвы не доберется. На восток сдвинется, но километра на полтора-два, не больше.

[Мёнин›]

Балин, возьми вертолёт, висящий в километре от полюса и направь его по прямой. По параллели он далеко не улетит

Мррл,
4. мне казалось, что должно остаться около 37% пути (причём для этого не так важно, 100 по 100, 50 пролетов по 200 км или 200 по 50). Москва севернее.

[Mrrl›]

4. Сомневаюсь. С точки зрения вертолета (на небольшом участке земли), фрагмент параллели выглядит как дуга окружности (радиусом r=R/tg(60)). Когда вертолет летит по прямой, его отклонение от этой окружности растет как квадрат пройденного пути: dr=L^2/r/2. Поэтому за два перелета по 100 км вертолет отклонится от стартовой широты вдвое меньше, чем за один перелет на 200 км.
  В общем, это очевидно. Заменим в задаче слова "поворачивает на запад" на "поворачивает на восток". Ответ про широту не изменится, а самолет при коротких перелетах будет чаще поворачивать к северу.
  Перечитал условие. Оказалось, что я решал не ту задачу - у меня вертолет стартовал из Петербурга. При старте от полюса всё несколько сложнее - придется использовать более точные формулы. Но все равно далеко не улетит.

[Mrrl›]

В околополярном регионе с широтой все просто: Земля там почти плоская, поэтому можно воспользоваться простым соображением: если у нас есть кольцо (разность двух концентрических кругов) и длина хорды внешнего круга, касательной к внутренней окружности, равна 2L, то площадь кольца равна pi*L^2 независимо от радиуса внутреннего круга. Вертолет перемещается по таким кольцам начиная с r0=100 км, и каждый раз летит по такой касательной. Поэтому через 100 сегментов он достигнет круга, площадь которого равна pi*101*100^2, т.е. радиус - 100*sqrt(101)=1005 км. Значит, вертолет остановится примерно на 81-м градусе. Из-за кривизны Земли его реальная точка финиша будет еще несколько севернее.
  Долготу надо считать.

[Мёнин›]

Когда вертолет летит по прямой, его отклонение от этой окружности растет как квадрат пройденного пути: dr=L^2/r/2.

Хм, надо подумать ещё будет. Мне там это казалось как раз линейным… видимо, казалось.

[Мёнин›]

И на закуску — менее очевидная задача, но тоже несложная.
Как получить окружность (неразрывная кривая, соединяющая точки, находящиеся на заданном расстоянии от центра), которая во сколь угодно больше (больше двух пи) длиннее её радиуса?

Скрытый текст (скрыть/показать)

При решении удобно использовать сферу.

[Мёнин›]

Не в тему, это скорее к физическим задачам. Но занятно.

«Плоская Земля».

Древние греки считали, что Земли является плоским диском, вращающимся вокруг своей оси. Примем и мы, что Земля является плоским диском достаточно большого радиуса (скажем, более 40 000 км).
Будем также считать, что период обращения диска вокруг своей оси равен одним суткам. Среднюю плотность материала диска примем равной средней плотности Земли ρ = 5,5×103 кг/м3.

   
Познакомимся с «географией» плоской Земли. Она напоминает обычную карту земного шара с северным полюсом N. Далее аналогично: любую радиальную прямую, выходящую из северного полюса будем называть меридианом. Легко догадаться, что южного полюса нет — его роль играют все точки края диска. Соответственно, окружности, точки которых находятся на равном расстоянии от полюса, назовем параллелями. Движение по параллелям в направлении вращения Земли будет соответствовать движению на восток (E), а в противоположном направлении — на запад (W). Пусть Афины находятся в точке A, расположенной на расстоянии ro = 4,0×103 км от северного полюса N.

5.1. Какой должна быть толщина h этого диска, чтобы ускорение свободного падения на северном полюсе N было g = 9,8 м/с2?
5.2. Для связи с жителями «другой стороны» плоской Земли вдоль оси ее вращения пробурена сквозная тонкая шахта. Если без начальной скорости в шахту опустить камешек, то он пройдя сквозь шахту, окажется на другой стороне Земли. Найдите максимальную скорость vmax камешка при таком движении. Силой сопротивления воздуха пренебречь.
5.3. Для связи с жителями «своей стороны» плоской Земли из Афин с помощью суперкатапульты производится выстрел «снарядом» с начальной скоростью vo = 100 м/с под углом α = 45° к горизонту. Силой сопротивления воздуха пренебречь.

найдите величину и направление смещения ΔS снаряда от меридиана за время его полета при выстреле вдоль меридиана (рассмотрите два случая).
найдите величину и направление смещения ΔS снаряда от параллели за время его полета при выстреле вдоль параллели (рассмотрите два случая).
Гравитационная постоянная G = 6,67×10−11 Н • м2/кг2.

Скрытый текст (скрыть/показать)

http://www.afportal.ru/physics/task/analogy/5
Ответы там есть

[Мёнин›]