Мне кажется что в книге ответ на этот вопрос дается (и дорогие участники этого форума тоже объяснили почему).
Так-же, можно и самому догадаться посмотрев на ситуацию.
1) Фродо полностью отпал от простой беззаботливой Хобитской жизни. Как уже упомянулось здесь, после того как он был свидетелем величавших событий того времени, после того как он увидл Имладрис, Лориен, Гондор и другие места, оставаться жить в простом Шире он не смог бы. Как сказал ему Саруман, он вырос.
Учитывая что Галадриэль и Элронд уплывали, и что таким образом Лориэн да Имладрис тоже уходили, разумеется что Фродо тоже захотел бы уйти туда где эта "сказка" продолжается.
2) Фродо вернулся с похода сильно покалеченым. Я думаю большинство из вас знают людей возвратившихся "изза речки" или из чечни, которые очень долгое время не могут найти себя в простой мирной жизни. Их обычные люди не понимают, и они сами уже не совсем такие какими были. Восприятие мира поменялось.
У Толкиена же, мы видим что Фродо был ранен магическим оружием, и что он очень долго владел кольцом (которое в самом конце лично он сам так и не смог уничтожить). Можно представить, что его травмы не по Толкиенскому определению не могут быть исцелены просто так.
3) Если говорить о том с какой стати его пускают туда, то можно сказать что за труды праведные. Наверняка он основательно мог бы предъявить тем кто против вполне конкретные притензии на свое право. Да и "авторитеты" уплывающии с ним (Гэндальф, Элронд, Галадриель) похлпотали за него там.
Насколько я помню, в приложениях говориться что возможно Гимли тоже уплыл, и что там влияние Галадриэль пришло ему на помощь. Ну понравилась она ему! Очень!

Что же касается того что смертные там умерают быстор, так подобное говорил айнурский посланик Нуменорцам. На мой взгляд, к этому можно отнестись как к теории (т.к. опытом это не было подтвержденно, и сами Валары могли не знать точно этого). А так же, можно отнестись к этому как к простому запугиванью, чтобы нуменорцы в самом деле не решили туда силой пойти. По той или иной причине, не хотели Валары смотреть на смертных у себя (хотя это уже несколько иная тема).