Итак, период это когда 10^k=10^m (mod n), где 0<=k<m. Сумма остатков от деления 10^k+10^(k+1)+...+10^(m-1) на n равна S=(10^m-10^k)/9 (mod n). Последнее выражение имеет смысл только если n на 3 не делится - и тогда из 10^k=10^m (mod n) следует, что S=0.
Если n=3*q (где q на 3 не делится), то 10^k=10^m (mod n) эквивалентно 10^k=10^m (mod q). Сумма прогрессии по модулю q равна, как и раньше, (10^m-10^k)/9 (mod q), т.е. нулю, а сумма по модулю 3 равна m-k (mod 3). Таким образом, число вида 3*q забавно тогда и только тогда, когда период дроби 1/q делится на 3. Аналогично, число n=9*q, где q не делится на 3, забавно тогда и только тогда, когда период 1/q делится на 9 (но сейчас я не понимаю, как упростить эти критерии - и вообще, как найти длину периода).
Что касается чисел, которые делятся на 27, над ними все еще надо думать.
