Тема: математические задачи

[Mrrl›]

Следующая задача.

Найти объем фигуры, две грани которой - квадраты, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные 8 - правильные треугольники.

               

               

[Mrrl›]

Обозначим длину ребра фигуры через a
Пусть высота фигуры равна h. Проведем сечение ее плоскостью, параллельному основаниям на расстоянии t*h от одного из них (t от 0 до 1). В сечении получим восьмиугольник с углами 135 гр и чередующимися сторонами t и 1-t. Его площадь будет многочленом от t степени 2 (кстати, это верно для любой фигуры - выпуклой оболочки двух выпуклых областей, лежащих в параллельных плоскостях), значения которого S(0)=S(1)=a^2, S(1/2)=a^2*(1+sqrt(2))/2. По формуле Симпсона получаем, что объем V=a^2*h*(4+2*sqrt(2))/6. Осталось найти h.

Рассмотрим любую из боковых граней. Ее высота равна a*sqrt(3)/2, расстояние от вершины до оси фигуры - a*sqrt(2)/2, а от основания до оси фигуры - a/2. Отсюда,
h^2+(a*(sqrt(2)-1)/2)^2=3/4*a^2, h=a*sqrt(3-(sqrt(2)-1)^2)/2=a*8^1/4/2.
Следовательно,
V=a^3* (2^1/2+2^3/4)/3


               

               

[katerina›]

бедный ты, бедный - сам загадываешь, сам разгадываешь....
сочуйствую 

пойти что-ли учебник какой почитать...

               

               

[Mrrl›]

Так в правилах написано - через неделю надо дать ответ.

               

               

[Mrrl›]

Совсем устная задачка (по крайней мере, пункты 1 и 2).

1) По ребрам правильного тетраэдра ползают два паука и муха. Скорость мухи в 2 раза скорости пауков. При любом ли начальном расположении пауки смогут поймать муху?
2) Скорость мухи в 2.1 раза больше скорости пауков, но паукам разрешено ползать по всему объему тетраэдра (а мухе - только по ребрам). Тот же вопрос.
3) (для исследования) Если ответ на какую-нибудь из задач 1,2 - да, то определить максимальное время, которое может продержаться муха (хотя бы в каком-нибудь положении) при оптимальной стратегии всех игроков. Если ответ - нет, определить, на какое расстояние муха может отполсти от ближайшего паука и больше не подпускать его ближе, чем это расстояние (немного коряво, но думаю, понятно. Нижний предел минимума расстояний от мухи до пауков при t->infinity, при оптимальной стратегии всех участников)

               

               

[aborgen›]

У меня вышло, что пауки никогда не поймают муху.
В первой задаче - потому что любая вершина - нечетная. Муха стоит в вершине. Если пауки умные и заходят с двух разных сторон, то муха эвакуируется по третьей.
Вторая задача. Положим, муха в вершине. Тогда пауки ползут по биссектрисам плоских углов при вершине с мухой(иначе задача абсолютно аналогична первой). Чтобы паук поймал муху, достаточно, чтобы расстояния, пройденные пауком и мухой с момента движения мухи относились как 1/2.1 и меньше. А минимум такого отношения - 1/2 - синус 30 градусов. Т.е. паук не поймает муху, и ближе всего он будет когда поползёт перпендикулярно биссектрисе плоского угла. А вот в какой именно момент - это другой вопрос...


               

               

[Mrrl›]

Во второй задаче - примерно так, а вот в первой... Ну, сидит муха в вершине. Один паук ползет к ней по ребру, чтобы из вершны выгнать. Но что мешает второму сидеть где-то в засаде и следить, по какому ребру поползет муха?
В любом случае, правильное решение (например второй задачи) должно иметь вид "если муха здесь, а про положение пауков известно то-то и то-то, то муха должна вести себя так-то (либо подождать, либо куда-то побежать, либо бежать, но следить за пауками)"

               

               

[Mrrl›]

Кстати,
Сколькими способами можно расставить 25 ладей на шахматной доске 5x5x5, чтобы ни одна не била другую?

               

               

[aborgen›]

5х5х5 - это КАК???

               

               

[Mrrl›]

Это в трехмерном пространстве. Ладьи там ходят про прямым, параллельным ребрам клеток. Исходно у меня этот вопрос возник про 10-мерную шахматную доску - я пытался сосчитать число стратегий в задаче с учеными и туземцами, - но там совсем ничего не понятно.

               

               

[aborgen›]

Т.е. одна ладья пробивает весь периметр?

               

               

[Mrrl›]

Нет, каждая ладья держит под ударом ровно 12 клеток, не считая своей - по 4 в каждом из 3 направлений (или в каждой из 3 пар направлений, если угодно).

               

               

[Mrrl›]

Решение задачи про муху и пауков.
1) Если отношение скоростей 2, то пауки ловят муху даже если им разрешено ползать только по ребрам.
Сначала пауки уползают на два противоположных ребра. Потом каждый ползет по своему ребру из конца в конец пока не окажется на проекции мухи на ребро (все непрерывно, поэтому такой момент существует). Скорость проекции мухи вдвое меньше скорости самой мухи, так что паук может удерживаться на проекции, а муха на его ребро уже не заползет. Как только оба паука достигли этой цели, они ползут к концам того ребра, на котором оказалась муха. Она сбежать уже не успевает.
2) Если отношение больше 2, а паукам разрешено ползать по объему, то муха может сбежать (если ее не зажали сразу и она смогла добраться до вершины). Как уже было замечено, если муха сидит в вершине и собирается ползти по ребру, то паук может ее перехватить, если он сидит в конусе с углом при вершине 2*arcsin(vs/vf), где vs - скорость паука, vf - скорость мухи. Поскольку этот угол меньше 60 гр, три конуса не пересекаются и хотя бы один из них свободен. По нему муха убегает в соседнюю вершину и там снова осматривается и бежит по свободному конусу.


               

               

[Mrrl›]

На аэродроме, находящемся на экваторе Земли, расположилась эскадрилья самолетов. Перед ними стоит задача: облететь вокруг Земного шара. При этом достаточно, чтобы кругосветное путешествие совершил только один самолет, а остальными можно пожертвовать. Проблема в том, что топливные баки вмещают горючего только на 5000 миль (ровно 1/5 длины экватора), а заправочных станций и запасных аэродромов по дороге нет. Зато самолет может мгновенно передать часть своего запаса горючего (или все горючее) любому оказавшемуся рядом самолету. Если при этом горючего в самолете-доноре не осталось, он упадет - и не жалко. Передавать горючее в последний момент (т.е. самолету с пустыми баками) разрешается. Если потребуется развернуться, это можно сделать мгновенно.
Какое минимальное количество самолетов требуется, чтобы выполнить задачу?

               

               

[Мёнин›]

У меня получилось 195.

               

               

[Mrrl›]

ошибка почти на порядок

               

               

[shumel›]

24 самолетов хватит, но, может быть, можно и меньше
Нашла у себя ошибку.
Окончательный ответ: 25. Меньше быть не может.

               

               

[Mrrl›]

24 бывает. Их хватит даже для планеты, экватор которой на 1% длиннее.

               

               

[shumel›]

Скорее всего где-то притаилась арифметическая ошибка.
Лучше я напишу решение. Или еще подождать, может кто решит?

               

               

[Mrrl›]

Больше все равно никто не решает. А посмотреть на решение интересно.