Цитата из: Mrrl on 19-01-2005, 23:44:48
Задача с удивительно простым (для своей формулировки) ответом.
Дан тетраэдр с ребрами a,b,c,d,e,f (d,e,f образуют треугольник, а a,b,c противоположны им). Чему равен радиус описанной вокруг него сферы? Считаем, что объем тетраэдра уже вычислен и равен V.
Ответ.
Пусть S(p,q,r) - площадь треугольника со сторонами p,q,r. Тогда радиус описанной сферы можно определить по формуле
R=S(a*d,b*e,c*f)/(6*V).
(в числителе - выражение, имеющее размерность м4).
Доказательство.
Сначала несколько фактов.
1) инверсия с центром O - преобразование, при котором каждая точка A переходит в точку A', лежащую на луче OA, такую, что OA'=1/OA. При этом преобразовании:
1а) расстояние между образами A' и B' точек A,B равно
A'B'=AB/(OA*OB);
1b) сфера радиуса R, проходящая через точку O, переходит в плоскость, проходящую на расстоянии 1/2R от точки O.
2) Если даны два тетраэдра OABC и OA'B'C', такие, что точки A',B',C' лежат на лучах OA,OB,OC соответственно, то отношение их объемов
V/V'=(OA*OB*OC)/(OA'*OB'*OC')
(доказательства этих утверждений предоставляются читателю )
Пусть V - объем тетраэдра OABC, а A',B',C' - образы точек A,B,C при инверсии с центром O. Тогда объем V' тетраэдра OA'B'C' равен V/(a*b*c)^2 (^ - возведение в степень), по утв.2. Высота этого тетраэдра, опущенная из точки O, равна 1/2R (по утв.1b), следовательно, площадь треугольника A'B'C' (основание тетраэдра) равна S'=3*V'/h=6*V'*R=6*V*R/(a*b*c)^2. Длины сторон треугольника A'B'C' равны d/bc, e/ac, f/ab (по утв.1a). Если мы возьмем треугольник, подобный ему с коэффициентом abc, то его стороны будут равны ad,be,cf. Обозначим его площадь через S. Тогда
S=S'*(abc)^2=6*V*R.