Тема: математические задачи

[асфодель›]

Цитата:
Вопрос простой: найти корень из I, не пользуясь пресловутой тригонометрической формой (которая и создаёт, собственно, ту формулу, о которой я сначала говорил).


Пораскинув мозгами, можно выйти из положения таким образом:
Нам осталось решить уравнения: x^2=i , x^2= -i.
Обозначим корни этих уравнений:   x1=√i,  x2= -√i, x3=√-i, x4=-√-i   
Предположим, что вычислять это мы не умеем. Ну и ладно. Рассмотрим соотношения между x1 и x3. И обнаружим, что x1*x3=1, а  x1+x3=√2.  Т. е. по теореме Виета эти числа являются корнями уравнения x^2 - √2 x + 1 =0 , откуда мы их и находим. Так же можно найти другую пару корней. 

P.S. Лично я предпочла бы воспользоваться формулой…


               

               

[Мёнин›]

То, что вы написали, не вполне математически грамотно - под корнем из мнимого/комплексного числа не понимается нечто конкретное, а понимаются все числа, удовлетворяющие условию
Вы учитываете в процессе равенство i^0,5*(-i)^0,5=1.
А между тем, (1/2)^(1/2)*(1+i)*(1/2)^(1/2)*(-1+i)=1/2*(-1+(-1))=-1.
Поэтому у вас и получается при решении уравнения Х^2=i
--(2^0,5)+-(2i)^0,5)/2=(1/2)^0,5*(1+-i). Ответ неверный.
Потому как [(1/2)^0,5*(1-i)]^2=-i.

               

               

[асфодель›]

Цитата:
Поэтому у вас и получается при решении уравнения Х^2=i
--(2^0,5)+-(2i)^0,5)/2=(1/2)^0,5*(1+-i). Ответ неверный.


Вот в этом месте, честно говоря, не поняла Вашу аргументацию
Однако неточности в моем ответе и правда есть, так что приведу более строгое решение:
имеем уравнение: x^2=i.
Пусть w – решение, т е такое число, что w^2=i
Обозначим: w=a+bi, и будем искать вещественные числа a и b.
(a+bi)^2=i
a^2-b^2+2abi=i
Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их вещественные и мнимые части. Так что получаем систему: a^2-b^2=0 и 2ab=1.
Из второго уравнения выражаем a=1/2b и подставляем в первое. После преобразований получим: 4b^4-1=0. Это уравнение имеет два вещественных корня:
b1=(1/2)^2, b2=-(1/2)^2.
Находим соответствующие значения a1=(1/2)^2, a2=-(1/2)^2.
Таким образом, w1= (1/2)^2 + i(1/2)^2,  w2=-(1/2)^2 -i(1/2)^2 – решения нашего уравнения
Аналогично решаем второе.


               

               

[aborgen›]

Асфодель, а как насчет задач посложнее? я уж заждамшись...

               

               

[Мёнин›]

Цитата из: асфодель on 06-11-2004, 21:00:36

Цитата:
Таким образом, w1= (1/2)^2 + i(1/2)^2,  w2=-(1/2)^2 -i(1/2)^2 – решения нашего уравнения


Вы имеете в виду (1/2)^(1/2), я надеюсь? (1/2)^2=1/4.


               

               

[асфодель›]

Нда... за опечатки в решении - извиняюсь, никак не привыкну записывать числа в таком виде. А редактор формул в Worde - уж очень муторная вешь 

Насчет задач посложнее - пожалуйста:
По пустыне идет караван из 9 верблюдов. Путешествие длится много дней, и, наконец, всем надоедает видеть впереди себя одного и того же верблюда.    Сколькими способами можно переставить верблюдов так, чтобы впереди каждого верблюда шел другой верблюд, чем раньше?

               

               

[асфодель›]

"И тишина..."    Может, подсказку хотите? 

               

               

[aborgen›]

Комбинаторику не люблю... Никогда не любил.
А вообще есть предположение, что 8*8! способов.Если верно, то объясню, а нет - давайте подсказку

               

               

[асфодель›]

Ответ неверный. Но даже неверное решение ценно тем, что позволяет понять ход мыслей решающего. Рискнув самостоятельно воспроизвести Ваш ход мыслей, я спрошу: а не учитывате ли Вы в Вашем решении одну и ту же перестановку несколько раз? И что нужно сделать, чтобы этого избежать? (это подсказка!!!)

Если в такой форме подсказка непонятна, завтра напишу по-человечески 

               

               

[aborgen›]

Хмы... Так тонко на мою тупость мне ещё никто не намекал . Я так понял, я обнаружил больше перестановок, чем ответе. Значит, я что-то не учел. Точнее, не что-то, а вполне конкретные вещи. Но, говорю, думать по комбинаторике мой мозг в принципе отказывается.
Мой ход рассуждений.
Имеем (в смысле, у нас есть) девять верблюдов: ABCDEFGHI.(Порядок, который всем надоел).
Будем рассматривать все случаи, которые нам необходимо исключить.
Поставим в конец каравана верблюдов АВ. При этом всё, что получается, нам не подходит. Всего перестановок - 7!
Аналогично - с верблюдами в начале каравана ВС, CD, ..., HI. Итого - восемь случаев. Итого ненужных перестановок - 8! Отнимая из 9!, получаем мой ответ. Неверный.
Видать, я не учел какие - то случаи...
А какие - нихт ферштейн.
Другой ход рассуждений.
имеем А и В - два последовательно идущих верблюда (любых).
Имеется восемь случаев их расположения. Каждый из случаев дает 7! перестановок. Опять имеем мой ответ. Но! Факт, что я тупой, весь результат отменяет. Жду помощи...

               

               

[асфодель›]

Что-то Вы скромничаете слишком…
Давайте посмотрим, какие перестановки Вы упустили из виду. (Только можно я обозначу этих окаянных верблюдов цифрами: 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Привычнее как-то.)
Итак, зафиксируем пару (1 2). Все перестановки, содержащие ее, будут «запрещенными» Однако, ставя пару (1,2) в начало каравана, Вы упустите, например, такую перестановку: 3, (1 2), 4,5,6,7,8,9. То есть надо иметь в виду, что выбранная пара может «двигаться» по числовому ряду. Какие-то из случаев попадают в Ваши комбинации (например, это: (3 4), 5,6, (1 2), 7,8,9 – мы его получим, когда выберем пару (3 4)), а какие-то нет.
Вывод: «запрещенных» перестановок больше, чем Вы нашли, а решений, соответственно, меньше.


               

               

[aborgen›]

Это я и имел ввиду, когда писал прошлый пост. А еще мне все лень придумать способ, как посчитать все способы, ничего не упустив и ничего не посчитав лишний раз. не варит моя мозг комбинаторика! Считайте меня сдавшимся...

               

               

[асфодель›]

Так уж сразу и сдавшимся... 
Я все-таки предлагаю всем подумать еще дня три, потом напишу свое решение, которое лично мне кажется правильным 

               

               

[Мёнин›]

А я из условия не понял, считать ли "ничего" тем же верблюдом? Т.е, надо ли обязательно переставлять первого верблюда?

               

               

[асфодель›]

Необязательно. Первый верблюд может находиться впереди каравана.

               

               

[асфодель›]

Так как в последнее время новых идей ни от кого не поступало, давайте я напишу свое решение, чтобы покончить наконец с этой "верблюжьей" темой.

Итак, пронумеруем верблюдов, как было сказано выше.
Нам надо найти все перестановки этих чисел, где нет ни одной из пар (1,2),(2,3),(3,4),…,(7,8),(8,9).
В скольких перестановках участвует пара (1,2)? Считая ее за 1 элемент, получим, что число таких перестановок равно 8! Такой же результат получится для остальных семи запрещенных пар.
Теперь рассмотрим перестановки, запрещенные по крайней мере дважды, т е содержащие две запрещенные пары. Возможны два случая: две запрещенные пары либо не имеют общих элементов, либо имеют один общий элемент.
В первом случае объединим вместе элементы каждой пары. У нас останется 7 переставляемых элементов: две пары как целое и пять элементов, не попавших ни в одну из пар. Число таких перестановок равно 7!
Во втором случае три элемента, входящие в две запрещенные пары, должны идти подряд:
(3,4),(4,5) --- (3,4,5). Объединим их. Тогда перестановкам подлежат снова 7 элементов, и число таких перестановок опять равно 7!
Аналогично доказывается, что для k запрещенных пар число перестановок, содержащих все эти k пар, равно Р_9-k=(9-k)!
k пар из 8 можно выбрать С₈^k способами.
По формуле включений и исключений получим, что число перестановок, не содержащих ни одной запрещенной пары, равно
P₉- С₈¹ P₈+ С₈² P₇-…+ С₈⁸ P₁=8!(9-8/1!+7/2!-…+1/8!)=148 329.

Ответ: 148 329 способов.


               

               

[Mrrl›]

Цитата из: Erlom-Tiu on 02-08-2004, 12:07:53
Итак, есть задача про Оленя и Волка....
какое минимальное время ей потребуется, чтобы убежать. С спользованием символа o-малое, естественно.



Похоже, что оптимальный алгоритм для Оленя следующий.
Пусть радиус острова равен 4, скорость Волка 4, скорость Оленя 1. Далее, в начальный момент Олень находится в точке (0,0) (центр острова), а Волк - в точке (4,0).
  Сначала предположим, что Волк бежит по часовой стрелке с максимальной скоростью. Проведем окружность с центром (0,1/2) и радиусом 1/2, и пустим Оленя по ней со скоростью 1. Нетрудно показать, что он, Волк и центр острова всегда будут на одной прямой. Если Волк замедлится или развернется, траекторию Оленя можно скорректировать: синус угла между этой траекторией и радиусом острова должен быть равен r*v/4, где r - расстояние от Оленя до центра, а v - текущая скорость Волка.
  Первая задача Оленя - достигнуть точки, находящейся на расстоянии 4-pi от центра. Если Волк скорости не менял, то Оленю на это потребуется время, равное arcsin(4-pi). Если Волк замедлялся - то еще меньше. После этого Олень бежит по радиусу прямо до забора. Через время pi от этого момента, т.е. через pi+arcsin(4-pi)=4.173454... от начала пути он добежит до забора одновременно с Волком. Тут-то Волк его и съест.
  R.I.P.

Есть ли решение лучше?

               

               

[Mrrl›]

Задача с удивительно простым (для своей формулировки) ответом.

Дан тетраэдр с ребрами a,b,c,d,e,f (a,b,c образуют треугольник, а d,e,f противоположны им). Чему равен радиус описанной вокруг него сферы? Считаем, что объем тетраэдра уже вычислен и равен V.

               

               

[Mrrl›]

Цитата из: Mrrl on 19-01-2005, 23:13:33

Цитата из: Erlom-Tiu on 02-08-2004, 12:07:53
Итак, есть задача про Оленя и Волка....
какое минимальное время ей потребуется, чтобы убежать. С спользованием символа o-малое, естественно.


...
Есть ли решение лучше?



Есть!
Олень начинает двигаться так же. Бежит по маленькой окружности в течение t1=0.491738, добегая до точки (-0.416214,0.222934), потом продолжает движение по касательной, достигая забора в точке (-2.39866,3.201004) в момент t=4.069306. Волк, который бежал по часовой стрелке, окажется в той же точке в тот же момент. Если Волк захочет перехитрить Оленя и развернется, то Олень может скорректировать свой маршрут, и в конечном итоге спастись еще быстрее.
  Думаю, что быстрее уже не получится.

Кстати, как это ни невероятно, но Олень может спастись, даже если скорость Волка в 4.60333 раза больше скорости Оленя (чуть меньше корня уравнения sqrt(r^2-1)+arcsin(1/r)=3*Pi/2).

               

               

[Mrrl›]

Цитата из: Mrrl on 19-01-2005, 23:44:48
Задача с удивительно простым (для своей формулировки) ответом.

Дан тетраэдр с ребрами a,b,c,d,e,f (d,e,f образуют треугольник, а a,b,c противоположны им). Чему равен радиус описанной вокруг него сферы? Считаем, что объем тетраэдра уже вычислен и равен V.



Ответ.

Пусть S(p,q,r) - площадь треугольника со сторонами p,q,r. Тогда радиус описанной сферы можно определить по формуле

R=S(a*d,b*e,c*f)/(6*V).

(в числителе - выражение, имеющее размерность м⁴).

Доказательство.

Сначала несколько фактов.
1) инверсия с центром O - преобразование, при котором каждая точка A переходит в точку A', лежащую на луче OA, такую, что OA'=1/OA. При этом преобразовании:
1а) расстояние между образами A' и B' точек A,B равно
A'B'=AB/(OA*OB);
1b) сфера радиуса R, проходящая через точку O, переходит в плоскость, проходящую на расстоянии 1/2R от точки O.
2) Если даны два тетраэдра OABC и OA'B'C', такие, что точки A',B',C' лежат на лучах OA,OB,OC соответственно, то отношение их объемов
V/V'=(OA*OB*OC)/(OA'*OB'*OC')
(доказательства этих утверждений предоставляются читателю )

Пусть V - объем тетраэдра OABC, а A',B',C' - образы точек A,B,C при инверсии с центром O. Тогда объем V' тетраэдра OA'B'C' равен V/(a*b*c)^2 (^ - возведение в степень), по утв.2. Высота этого тетраэдра, опущенная из точки O, равна 1/2R (по утв.1b), следовательно, площадь треугольника A'B'C' (основание тетраэдра) равна S'=3*V'/h=6*V'*R=6*V*R/(a*b*c)^2. Длины сторон треугольника A'B'C' равны d/bc, e/ac, f/ab (по утв.1a). Если мы возьмем треугольник, подобный ему с коэффициентом abc, то его стороны будут равны ad,be,cf. Обозначим его площадь через S. Тогда
S=S'*(abc)^2=6*V*R.