Автор: Mrrl›
« : 06/09/2006, 06:27:37 »По-моему, нет. В любом случае, предпочесть один порядок другому мы не можем, если нам ничего дополнительно не известно про структуру множеств.
Новости:
В тестовом режиме открыт раздел сайта «Встречи»
Здесь больше нет рекламы. Но могла бы быть, могла.
Автор: Ethillen›
« : 05/09/2006, 23:31:53 »Цитата из: Mrrl on 05-09-2006, 22:37:07
Но для того, чтобы составить прямоугольную таблицу, нам требуется упорядочить каждое из бесконечного числа множеств, т.е. выбрать для каждого из них одно из возможных упорядочений. А без аксиомы выбора мы этого сделать не можем
Но разве счетность не предполагает, что каждое из этих множеств уже упорядочено? (Честно говоря, я еще не пытался разобраться во всех этих упорядочиваниях).
Автор: Mrrl›
« : 05/09/2006, 22:37:07 »Возможно, я тоже ошибусь. Но для того, чтобы составить прямоугольную таблицу, нам требуется упорядочить каждое из бесконечного числа множеств, т.е. выбрать для каждого из них одно из возможных упорядочений. А без аксиомы выбора мы этого сделать не можем 
"Если у нас есть бесконечно много пар ботинок, то мы легко можем выбрать по одному ботинку из каждой пары. Поступить аналогичным образом с бесконечным числом пар носков без аксиомы выбора мы уже не можем" (с) не помню, кто
Я несколько раз натыкался на тест с 14 вопросами по АВ - какие действия ее требуют, а какие нет. К сожалению, страничка с ответами была недоступна (возможно, ее уже не существует).
"Если у нас есть бесконечно много пар ботинок, то мы легко можем выбрать по одному ботинку из каждой пары. Поступить аналогичным образом с бесконечным числом пар носков без аксиомы выбора мы уже не можем" (с) не помню, кто
Я несколько раз натыкался на тест с 14 вопросами по АВ - какие действия ее требуют, а какие нет. К сожалению, страничка с ответами была недоступна (возможно, ее уже не существует).
Автор: Ethillen›
« : 05/09/2006, 22:15:08 »Mrrl, спасибо большое. 
Сейчас, если позволите, немного потуплю про аксиому выбора. В частности про "объединение счетного числа счетных множеств счетно".
Итак. Счетное множество - равномощное натуральному ряду. Поэтому для наглядности переформулируем задачу так: доказать, что объдинение натурального ряда натуральных рядов можно занумеровать числами этого же натурального ряда. Поступим так: первую строку напишем первый ряд, во вторую - второй, ... , и так натуральный ряд строк. Получим известную "открытую таблицу". Вроде как всем известен способ занумеровать ее "ячейки" натуральными числами, поэтому описывать его не буду.
Так вот, где я здесь ошибся (если ошибся) и где здесь аксиома выбора?
Сейчас, если позволите, немного потуплю про аксиому выбора.
В частности про "объединение счетного числа счетных множеств счетно".Итак. Счетное множество - равномощное натуральному ряду. Поэтому для наглядности переформулируем задачу так: доказать, что объдинение натурального ряда натуральных рядов можно занумеровать числами этого же натурального ряда. Поступим так: первую строку напишем первый ряд, во вторую - второй, ... , и так натуральный ряд строк. Получим известную "открытую таблицу". Вроде как всем известен способ занумеровать ее "ячейки" натуральными числами, поэтому описывать его не буду.
Так вот, где я здесь ошибся (если ошибся) и где здесь аксиома выбора?
Автор: Mrrl›
« : 09/08/2006, 17:19:45 »Да, именно в "пи" раз.
Про группы и зачем они нужны сказать особо нечего. Просто, когда у нас есть какое-то множество, да еще с операциями, всегда возникает вопрос "что оно такое и какие у него свойства?". И если мы докажем, что это множество - группа или полугруппа, то, во-первых, нас сразу поймут; во-вторых, мы бесплатно получаем много хороших теорем, а заодно, возможно, и описание. А дальше все зависит от наших целей. Были ли полезны группы в "кошельке без дырки", я не скажу. Аксиомы я тогда не записал, а вспоминать лень.
Про аксиому выбора.
Для начала два множества теорем.
- эквивалентные аксиоме выбора:
- - любое множество можно вполне упорядочить (расположить элементы так, что для любых двух можно сказать, какой из них раньше; у каждого есть следующий, но не обязательно у каждого есть предыдущий)
- - если множество A бесконечно, то множества A и A*A имеют равную мощность, т.е. между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие.
- - Если даны два множества, то либо их мощности равны, либо в одном из них можно выбрать подмножество, равномощное второму множеству.
- - Декартово произведение любого семейства непустых множеств непусто
- - Для любой сюръекции f (отображения A "на" B) существует правое обратное отображение (т.е. g: B->A, такое, что f(g(y))=y для любого y из B)
- - у любого векторного пространства есть базис.
- теоремы, для доказательства которых необходима аксиома выбора (но более слабые, чем эта аксиома):
- - объединение счетного числа счетных множеств счетно
- - любое бесконечное множество содержит подмножество, эквивалентное натуральному ряду
- - у любого поля (в алгебраическом смысле) существут алгебраическое замыкание.
И еще куча других теорем.
Достаточно, чтобы признать эту аксиому полезной, не правда ли?
Хотя некоторые следствия выглядят так:
- - На действительной прямой существуют неизмеримые по Лебегу множества (например, множество Витали)
- - парадоксы Хаусдорфа и Банаха-Тарского (о разбиении сферы и шара соответственно)
Про множество Витали и интегралы по Лебегу:
Мера Лебега является счетно-аддитивной. То есть, если мы возьмем счетное семейство непересекающихся множеств M_i, мера каждого из которых равна a_i, то мера их объединения M будет равна sum(a_i). На одном из шагов определения интеграла по Лебегу мы говорим, что если у нас есть фунция, равная 1 на множестве M и 0 за его пределами, то интеграл от нее равен мере множества M.
Но пусть M - множество Витали. Оно устроено так, что каждое число x можно однозначно представить в виде суммы q(x)+m(x), где q - рациональное число, а m принадлежит множеству M. Отсюда следует, что рассмотрев сдвиги этого множества на рациональные числа (обозначим результаты как M+q), мы получим счетное число непересекающихся множеств, объединение которых дает всю прямую. Если выбрать M так, что все его элементы лежат на отрезке [0,1], и сдвигать его на рациональные числа из отрезка [0,1], то объединение счетного числа конгруэнтных M множеств лежит на отрезке [0,2].
Если бы M было измеримым, то с одной стороны, его мера не могла бы равняться 0 (сумма счетного числа нулей - тот же нуль, а значит, мера всей прямой равнялась бы нулю), а с другой - мера не может быть и положительным числом a (сумма счетного числа одинаковых положительных чисел бесконечна, а объединение счетного числа множеств умещается в отрезок длины 2).
Отсюда делают вывод, что множество M неизмеримо, а значит, и интегарала по Лебегу от его характеристической функции не существует. А если чего-то не существует, значит, пользоваться им опасно.
Кажется, так.
Про группы и зачем они нужны сказать особо нечего. Просто, когда у нас есть какое-то множество, да еще с операциями, всегда возникает вопрос "что оно такое и какие у него свойства?". И если мы докажем, что это множество - группа или полугруппа, то, во-первых, нас сразу поймут; во-вторых, мы бесплатно получаем много хороших теорем, а заодно, возможно, и описание. А дальше все зависит от наших целей. Были ли полезны группы в "кошельке без дырки", я не скажу. Аксиомы я тогда не записал, а вспоминать лень.
Про аксиому выбора.
Для начала два множества теорем.
- эквивалентные аксиоме выбора:
- - любое множество можно вполне упорядочить (расположить элементы так, что для любых двух можно сказать, какой из них раньше; у каждого есть следующий, но не обязательно у каждого есть предыдущий)
- - если множество A бесконечно, то множества A и A*A имеют равную мощность, т.е. между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие.
- - Если даны два множества, то либо их мощности равны, либо в одном из них можно выбрать подмножество, равномощное второму множеству.
- - Декартово произведение любого семейства непустых множеств непусто
- - Для любой сюръекции f (отображения A "на" B) существует правое обратное отображение (т.е. g: B->A, такое, что f(g(y))=y для любого y из B)
- - у любого векторного пространства есть базис.
- теоремы, для доказательства которых необходима аксиома выбора (но более слабые, чем эта аксиома):
- - объединение счетного числа счетных множеств счетно
- - любое бесконечное множество содержит подмножество, эквивалентное натуральному ряду
- - у любого поля (в алгебраическом смысле) существут алгебраическое замыкание.
И еще куча других теорем.
Достаточно, чтобы признать эту аксиому полезной, не правда ли?
Хотя некоторые следствия выглядят так:
- - На действительной прямой существуют неизмеримые по Лебегу множества (например, множество Витали)
- - парадоксы Хаусдорфа и Банаха-Тарского (о разбиении сферы и шара соответственно)
Про множество Витали и интегралы по Лебегу:
Мера Лебега является счетно-аддитивной. То есть, если мы возьмем счетное семейство непересекающихся множеств M_i, мера каждого из которых равна a_i, то мера их объединения M будет равна sum(a_i). На одном из шагов определения интеграла по Лебегу мы говорим, что если у нас есть фунция, равная 1 на множестве M и 0 за его пределами, то интеграл от нее равен мере множества M.
Но пусть M - множество Витали. Оно устроено так, что каждое число x можно однозначно представить в виде суммы q(x)+m(x), где q - рациональное число, а m принадлежит множеству M. Отсюда следует, что рассмотрев сдвиги этого множества на рациональные числа (обозначим результаты как M+q), мы получим счетное число непересекающихся множеств, объединение которых дает всю прямую. Если выбрать M так, что все его элементы лежат на отрезке [0,1], и сдвигать его на рациональные числа из отрезка [0,1], то объединение счетного числа конгруэнтных M множеств лежит на отрезке [0,2].
Если бы M было измеримым, то с одной стороны, его мера не могла бы равняться 0 (сумма счетного числа нулей - тот же нуль, а значит, мера всей прямой равнялась бы нулю), а с другой - мера не может быть и положительным числом a (сумма счетного числа одинаковых положительных чисел бесконечна, а объединение счетного числа множеств умещается в отрезок длины 2).
Отсюда делают вывод, что множество M неизмеримо, а значит, и интегарала по Лебегу от его характеристической функции не существует. А если чего-то не существует, значит, пользоваться им опасно.
Кажется, так.
Автор: Ethillen›
« : 09/08/2006, 14:34:03 »Цитата из: Mrrl on 31-07-2006, 15:16:45
Цитата из: Ethillen on 31-07-2006, 14:57:40
Но что "хорошего" дает нам перевод чего-нибудь на язык теории групп?
Только то, что после этого можно пользоваться этой самой теорией (когда понадобится).
Ну, я в общем-то и хотел спросить, что дает нам использование этой теории. После поверхностного знакомства с ней я совершенно не понял, куда можно приткнуть все эти факторгруппы и коммутанты.
Но, я думаю, это вопросы уже совсем не для данной темы. 
Цитата из: Mrrl on 31-07-2006, 15:16:45
Цитата из: Ethillen on 31-07-2006, 14:57:40
Не особо надеясь на успех: M=1/(pi*s^2)?
Нет, там все несколько проще.
В пи раз?
Возник еще один вопрос. Про аксиому выбора. Упоминалось, что она используется для доказательства эквивалентности определений предела функции. А для чего еще "положительного" она используется? А то создается впечатление, что это какая-то хитрая и опасная штука, без которой жилось бы легче...
И еще. Вроде бы упоминалось об опасности множеств Витали для тех, кто "пользуется интегралами" или что-то в этом духе... Что такое эти множества я кажется понял (даже вроде понял что-то про аксиому выбора), но про их опасность послушать было бы занимательно...
P.S. Вопрос к Mrrl'у и Арвинду как создателям темы: насколько нежелательны подобные вопросы? Вроде бы планировалось в этой теме обходиться без них.
Автор: Mrrl›
« : 31/07/2006, 15:16:45 »Цитата из: Ethillen on 31-07-2006, 14:57:40
Но что "хорошего" дает нам перевод чего-нибудь на язык теории групп?
Только то, что после этого можно пользоваться этой самой теорией (когда понадобится).
Цитата из: Ethillen on 31-07-2006, 14:57:40
Цитата:
На отрезке [-s,0) значение этой функции равно M, а на (0,s] оно равно -M. Вопрос на засыпку: чему равно M?
Не особо надеясь на успех: M=1/(pi*s^2)?
Нет, там все несколько проще. Подсказка: производная функции f(x)=x в нуле равна единице.
Автор: Ethillen›
« : 31/07/2006, 14:57:40 »Цитата из: Mrrl on 19-07-2006, 22:44:15
Что касается абелевых групп и теоремы о неразрешимости - думаю, что связи нет. По-моему, все это называется теорией Галуа, и соответственно там используются группы Галуа.
На моем теперешнем уровне знаний обо всем этом - так там как раз неабелевы группы и используются.
Цитата:
Для "аксиоматики кошелька" мне понадобилось определить, что такое "одинаковые кошельки". <...> Формализация этой формулировки потребовала использования "последовательности операций", которые быстро превратились в "элементы свободной неабелевой полугруппы" (по-русски - строки, состоящие только из букв "t" и "p" (t - достать монету, p - положить).
В принципе, понятно. Но что "хорошего" дает нам перевод чего-нибудь на язык теории групп?
Цитата:
На отрезке [-s,0) значение этой функции равно M, а на (0,s] оно равно -M. Вопрос на засыпку: чему равно M?
Не особо надеясь на успех: M=1/(pi*s^2)?
Цитата:
А еще дельта-функцию удобно представлять себе как производную "ступеньки" (которая 0 при x<0 и 1 при x>=0).
Забавное следствие - существование у модуля икс в нуле радиуса кривизны.
Автор: Mrrl›
« : 19/07/2006, 22:44:15 » Что касается абелевых групп и теоремы о неразрешимости - думаю, что связи нет. По-моему, все это называется теорией Галуа, и соответственно там используются группы Галуа. К сожалению, я эту теорию не изучал.
Для "аксиоматики кошелька" мне понадобилось определить, что такое "одинаковые кошельки". Получилось, что это значит "если с ними что-нибудь делать в одинаковой последовательности, то эффект будет один и тот же", т.е. пустыми они станут одновременно. Формализация этой формулировки потребовала использования "последовательности операций", которые быстро превратились в "элементы свободной неабелевой полугруппы" (по-русски - строки, состоящие только из букв "t" и "p" (t - достать монету, p - положить).
Насчет дельта-функции. В сущности, что она такое? Это такая функция, которая на отрезке длины s (например, [-s/2, s/2]) равна 1/s. Только для нее s=0. Поэтому, она действительно всюду (кроме 0) равна 0, а интеграл от нее действительно равен 1. Только это не тот интеграл, который по Риману, и даже не тот, который по Лебегу. Более точно - это "функция", интеграл от произведения которой на любую функцию f(x), равнялся бы f(0), если бы такая функция могла существовать. Собственно, это и есть определение дельта-функции в виде функционала.
Производная дельта-функции тоже легко определяется в виде функционала: интеграл от ее произведения на f(x) равен -f'(0). Доказывается интегрированием по частям. А если пытаться ее представить "наглядно", то...
На отрезке [-s,0) значение этой функции равно M, а на (0,s] оно равно -M. Вопрос на засыпку: чему равно M?
А еще дельта-функцию удобно представлять себе как производную "ступеньки" (которая 0 при x<0 и 1 при x>=0).
Для "аксиоматики кошелька" мне понадобилось определить, что такое "одинаковые кошельки". Получилось, что это значит "если с ними что-нибудь делать в одинаковой последовательности, то эффект будет один и тот же", т.е. пустыми они станут одновременно. Формализация этой формулировки потребовала использования "последовательности операций", которые быстро превратились в "элементы свободной неабелевой полугруппы" (по-русски - строки, состоящие только из букв "t" и "p" (t - достать монету, p - положить).
Насчет дельта-функции. В сущности, что она такое? Это такая функция, которая на отрезке длины s (например, [-s/2, s/2]) равна 1/s. Только для нее s=0. Поэтому, она действительно всюду (кроме 0) равна 0, а интеграл от нее действительно равен 1. Только это не тот интеграл, который по Риману, и даже не тот, который по Лебегу. Более точно - это "функция", интеграл от произведения которой на любую функцию f(x), равнялся бы f(0), если бы такая функция могла существовать. Собственно, это и есть определение дельта-функции в виде функционала.
Производная дельта-функции тоже легко определяется в виде функционала: интеграл от ее произведения на f(x) равен -f'(0). Доказывается интегрированием по частям. А если пытаться ее представить "наглядно", то...
На отрезке [-s,0) значение этой функции равно M, а на (0,s] оно равно -M. Вопрос на засыпку: чему равно M?
А еще дельта-функцию удобно представлять себе как производную "ступеньки" (которая 0 при x<0 и 1 при x>=0).
Автор: Ethillen›
« : 03/07/2006, 01:14:32 »Возможно пишу не в ту тему, но уж простите...
Хочется испросить какую-нибудь информацию касательно абелевых и неабелевых групп(википедия - наше все, но если кому не лень в "Терминах" или здесь объяснить попроще{или там и так все просто?}, был бы признателен), а также: зачем первые потребовались Абелю при доказательстве его Теоремы(которая о неразрешимости уравнений; ну, то есть интересно узнать, как он ее доказывал), а вторые(только там были "свободные неабелевы полугруппы") - Мррлу для построения аксиоматики кошелька без дырки. 
И еще было бы крайне интересно услышать, почему производную дельта-функции легче представить как производную ее в качестве функционала (не кидайтесь тапками, если пишу какую-то чушь
), чем как обычной функции. На моем нынешнем уровне знаний об этой штуке - наоборот.
Да, и еще я никак не могу осознать, в каком смысле надо понимать равенство интеграла от дельта-фунции единице. Если ее приближать какой-то последовательностью нормальных функций - то да, понятно. Но если сразу сказать, что она почти везде равна нулю, то...
И еще было бы крайне интересно услышать, почему производную дельта-функции легче представить как производную ее в качестве функционала (не кидайтесь тапками, если пишу какую-то чушь
), чем как обычной функции. На моем нынешнем уровне знаний об этой штуке - наоборот.Да, и еще я никак не могу осознать, в каком смысле надо понимать равенство интеграла от дельта-фунции единице. Если ее приближать какой-то последовательностью нормальных функций - то да, понятно. Но если сразу сказать, что она почти везде равна нулю, то...
Автор: Mrrl›
« : 31/05/2006, 19:23:09 »Это то же. что и axiom schema of separation, or axiom schema of restricted comprehension.
По-русски это "схема выделения" - когда по множеству и предикату строят подмножество.
По-русски это "схема выделения" - когда по множеству и предикату строят подмножество.
Автор: Симагин Гендо›
« : 31/05/2006, 19:19:07 »Цитата:
but we may apply the axiom schema of specification to remove unwanted elements
А что имеется в виду под словами "axiom schema of specification"? Может быть, я туплю, но такой аксиомы я тоже не вижу.
Автор: Mrrl›
« : 30/05/2006, 10:50:10 »Цитата:
У меня получилось построить следующую реализацию...
Интересная конструкция (обозначим ее S). Та, которую я встречал, (обозначается K) очень похожа, но чуть-чуть регулярнее.
Берем класс всех ординалов U. Определим класс K как класс функций, кажая из которых отоборажает какой-нибудь ординал в множество {u,d} (т.е. класс всех последовательностей произвольной "длины", состоящих из элементов u,d. u означает "up", d - "down", определим, что d<0<u). Функцию, определенную на пустом множестве (последовательность нулевой длины) обозначим 0.
Для двух различных элементов a,b \in K порядок определим так.
Если a=0, то в (a<b) := (0<b(\empty)).
Пусть A - носитель (область определения) элемента a, а B - носитель b. Если существует x, принадлежащий min(A,B), для которого a(x)!=b(x), то (a<b) := (a(x)<b(x)) для самого раннего из всех таких x. Если A принадлежит B и a(x)=b(x) для всех x из A, то (a<b):=(0<b(A)). Если B принадлежит A - аналогично.
Иными словами, дописываем последовательности нулями и сравниваем лексикографически.
Превратить функции в подмножества ординалов довольно просто: a заменяем на {A}+{x \in A: a(x)='u'}. Но в этих терминах порядок описать сложнее.
Любопытно, что во всех реализациях (включая произвольное упорядочение U) можно ввести отношение частичного порядка "более ранний": в модели K элемент a назовем более ранним, чем b, если A принадлежит B и a(x)=b(x) для всех x из A (т.е. a является началом b), в модели S - если a является пересечением b с каким-нибудь ординалом. Для модели упорядочения U отношение "более ранний" будет отношением принадлежности ординалов.
После того, как это отношение введено, определим три понятия:
- разделяющий элемент: если для множеств A и B выполняется A<B, то определим разделяющий элемент A:B как самый ранний из всех x: A<x<B. Если множество B пусто, то A:\empty = самый ранний из всех x: A<x, для пустого B аналогично. \empty:\empty=0.
- верхний срез элемента x: {y: y раньше x и y>x}.
- нижний срез элемента x: {y: y раньше x и y<x}.
Вопрос: можно ли для описанных моделей (K,S, и упорядоченные U) построить биекции между ними, сохраняющие порядок < и разделяющие элементы?
Автор: Mrrl›
« : 28/05/2006, 23:21:15 »Цитата из: Симагин Гендо on 27-05-2006, 15:45:24
Цитата из: Mrrl on 26-05-2006, 21:47:37
Насколько я помню, "и любое другое множество, для которого вместе с каждым элементом содержится его последователь, содержит множество N в качестве подмножества".
В Википедии ни в аксиоматике Цермело-Френкеля, ни в аксиоматике Гёделе-Неймана, этого не написано. Википедия ошибается?
Наверное, я ошибаюсь. В английской Википедии написано следующее:
This set S may contain more than just the natural numbers, forming a subset of it, but we may apply the axiom schema of specification to remove unwanted elements, leaving the set N of all natural numbers. This set is unique by the axiom of extensionality.
Но какой именно предикат они предлагают использовать? Наверное, конечность множества (не существует биекции между x и x-{\empty}).
Автор: Симагин Гендо›
« : 27/05/2006, 17:36:29 »Цитата из: Mrrl on 14-05-2006, 23:23:18
1) знаком ли кто-нибудь с таким объектом?
2) какие реализации известны?
У меня получиловь построить следующую реализацию.
Берём класс множеств, состоящих из ординалов.
Ординалы делим на чётные и нечётные следующим образом: если у ординала х нет такого элемента у, что x=уU{y}, назовём x чётным, следующий за ним называем нечётным, следующий опять чётный, и так далее.
Для двух множеств берём самый ранний из ординалов, лежащий в одном из них, и не лежащий в другом.
Если этот ординал чётен, то содержащее его множество меньше другого, иначе оно больше другого.
Данное упорядочивание отвечает требуемым условиям.
Цитата:
3) любые ли два класса K1, K2 с описанными свойствами эквивалентны (т.е. между ними существует монотонная биекция)?
Да. Поскольку такие классы не являются множествами, существует биекция между каждым из них и классом ординалов. Так что, достаточно показать, что для любых двух таких порядков на классе ординалов, можно найти биекцию этого класса на себя, переводящую один из этих порядков в другой.
Будем её строить следующим образом.
Пустое множество соответствует пустому множеству, f(0) = 0.
Пусть определены образы всех ординалов, содержащихся в данном. Пусть А - множество ординалов, содержащихся в данном и меньших него, B - содержащихся в данном и больших него (для порядка №1). Согласно свойствам порядков, найдётся ординал, больший f(A) и меньший f(B) (для порядка №2). В качестве образа данного ординала выберем самый ранний из таких ординалов.
Докажем, что это биекция, т. е. у каждого из ординалов есть прообраз.
Пусть имеется ординал x, и у всех элементов x есть прообразы. Пусть A - множество элементов x, меньших х, B - множество элементов x, больших x (для порядка №2). Пусть y - самый ранний из элементов, больший f-1(A) и меньший f-1(B).(в смысле порядка №1).
Докажем, что f(y)= x.
Поскольку f переводит порядок №1 в №2, и по определению y, для любого z, принадлежащего y, найдётся t, такое, что или f(t) принадлежит A, и t>=z, или f(t) принадлежит B, и t<=z. (в смысле порядка №1). Причём, если z<y, то, поскольку для любого s, лежащего в f-1(B) s>y>z, то соответствующее t принадлежит f-1(A), и, аналогично, если z>y, то соответствующее t лежит в f-1(B)
То есть, если z принадлежит y, то если z<y, то f(z)<=f(t)<x, а если z>y, то f(z)>=f(t)>x. По определению f, f(y)=x.
Цитата:
4) верно ли, что любое упорядоченное множество вкладывается в K?
Да. Доказывается аналогично предыдущему пункту. Более того, вложить можно не только упорядоченное множество, но и упорядоченный класс.