Тема: Метаматематика

[Арвинд›]

Цитата из: Мёнин on 29-03-2006, 19:03:43
Странно. Теорема Фалеса, в отличие от теоремы Пифагора, в школьном учебнике доказывается.

1. Школьного учебника у меня ни тогда, ни сейчас под рукой не обнаружилось.
2. Поскольку я восстановить доказательство не смог, то стал подозревать, что данному в школьном учебнике я попросту не поверю. Оно не может быть строгим - пятиклассники не поймут.

Цитата:

Цитата:
возник вопрос: а что такое равенство отрезков? У меня возникло ощущение, что способа, отличного от "совмещения при параллельном переносе и повороте", нет

Равенство отрезков прямой - это равенство их длин. Разве нет?
Вот само понятие длины, мерности, размера, счётности, оно в математике аксиоматичное.

Да, вот равенство длин отрезков меня и заинтересовало. Понятие расстояния, конечно, можно счесть аксиоматичным (все три аксиомы Mrrl уже привел). Но неплохо бы помнить и о том, что любое множество можно метризовать многими способами.
Метрика, выделяющая евклидову плоскость, среди других множеств, не может быть определена просто аксиомами расстояния. Вот я и спрашиваю - а чем же она определена?
В моем представлении она связана со сдвигом, который в предыдущем сообщении определил Mrrl, и он же упомянул, что мы тут основываемся на пятом постулате.
Раз так, то я не понимаю, как возможна проверка:
Цитата:
И проверяется это свойство пространства. В физической реальности оно нарушается при расстояниях, соизмеримых с 0.1 светового года (эффекты, предсказанные через геометрию Лобачевского, вроде бы обнаружены в пределах солнечной системы)

Если в геометрии Лобачевского само понятие расстояния иное, не совпадающее с евклидовским, то как, живя в мире "по Лобачевскому", проверить, появляются ли эти самые нарушения евклидова расстояния?

Правда, есть еще интересное свойство (*) расстояния: "на любом луче для любого расстояния существует точка на этом расстоянии от начала луча". Возможно, его и впрямь хватает для однозначной метризуемости, - но в этом свойстве никакой параллельности нет, а понятие расстояния от этого все-таки зависит, если я правильно интерпретирую разницу в определении расстояния в разных геометриях:
Цитата из: Mrrl on 29-03-2006, 07:47:39
Расстояния в сферической геометрии измеряются в радиусах сферы (т.е. в радианах), а в геометрии Лобачевского - в специальных единицах d (кажется, при сдвиге на d вдоль прямой расстояние от нее до близкой сходящейся с ней прямой изменяется в e=exp(1) раз).


Может быть, конечно, и такое: свойство (*) однозначно определяет расстояние в любой геометрии, но в зависимости от нашей аксиоматики другие свойства расстояния меняются (откуда и потребность в разных единицах измерения).

Хотелось бы не предполагать, а знать точно.

               

               

[Mrrl›]

Цитата из: Мёнин on 29-03-2006, 19:03:43
Странно. Теорема Фалеса, в отличие от теоремы Пифагора, в школьном учебнике доказывается.


Судя по всему, ее доказывают через два факта:
- в параллелограмме противоположные стороны и углы равны;
- верен признак конгруэнтности треугольников по стороне и двум углам.
Плюс свойства о равенстве некоторых углов между параллельными прямыми и секущей.

Осталось понять, как доказываются эти факты и свойства.

Цитата:
Равенство отрезков прямой - это равенство их длин. Разве нет?


Да. Но какие в геометрии могут быть средства для доказательства равенства двух отрезков? Только совмещение.

Цитата:
Вот само понятие длины, мерности, размера, счётности, оно в математике аксиоматичное.


Там, где оно есть - да, как правило, аксиоматичное. Правда, иногда метрику определяют через норму вектора, а выполнение аксиом метрического пространства доказывают. Но метрика есть не везде.

Цитата:

Цитата:
Это непроверяемое свойство пространства, - если бы оно нарушалось, проверить это было бы невозможно.
С тех пор времени взять школьный учебник у меня не было, так я и остался в недоумении... Надеюсь, я понятно написал...


Это свойство следует как раз из теоремы Фалеса. А теорема Фалеса - доказывается.


Если речь идет о том, что расстояние между параллельными прямыми (в каком-нибудь смысле) одинаково вдоль всей прямой - то это как раз следует из равенства противоположным сторон параллелограмма.



               

               

[Ethillen›]

Цитата из: Мёнин on 29-03-2006, 18:50:03

Цитата из: Mrrl on 28-03-2006, 23:39:03
Согласно записи, число 0,abcde... - это такое число x, для которого

0,a <= x < 0,a+0,1
0,ab <= x < 0,ab+0,01
0,abc <= x < 0,abc+0,001
...


Первый раз слышу.
Согласно принципу позиционной записи числа, если c_n и d_n - цифры, то
....c₂c₁c₀,d₁d₂d₃.... , = ....+10²*c₂+10¹*c₁+10⁰*c₀+10^-1*d₁+10^-2*d₂+10^-3d₃+...

Неравенства выполняются, если указать
0,a <= x <= 0,a+0,1


Мне кажется, тут все зависит от подхода к этому делу. Если определять вещественные числа через дроби (а не наоборот) то в этом случае, наверное будет так, как сказали Вы. Да и проблема с девяткой в периоде обходится путем отождествления этой дроби с соответствующей с нулем в периоде.

Если делать наоборот, то надо поступать так, как сказал Mrrl: мы последовательно приближаем вещественное число полуинтервалами, содержащими его. При каждой итерации мы делим полуинтервал на 10 равных полуинтервалов, не имеющих общих точек. Если делить на отрезки, то его концы будут общими для двух отрезков и у нас может появиться свобода выбора отрезка, содержащего наше число. При этом, наверное, возникают какие-то проблемы.

Цитата из: Мёнин on 29-03-2006, 18:50:03

Цитата из: Ethillen on 28-03-2006, 23:13:51
Я имел в виду то, что не понимаю, имеем ли мы право считать так:
(0.3 + 0.03 + 0.003 + ...) + (0.6 + 0.06 + 0.006 + ...) = (0.9 + 0.09 + 0.009 + ...)


Имеем полное право.
Цитата:
Ведь, если первые две дроби соответствуют вполне определенным действительным числам, то результат такого их сложения таким свойством не обладает.

Неверно, обладает. Это и есть единица.

0,(9) не есть корректная запись, но число, соответствующее этой записи, есть.
Шестой класс школы!


Тут справедливо замечание к первой цитате. А шестой класс и первый курс - разные вещи. 

               

               

[Мёнин›]

http://geometry9.narod.ru/Bilet15.doc

Теорема Фалеса: Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Докаательство: Пусть А1, А2, А3 – точки пересечения параллельных прямых с одной сторон0й угла и А2 лежит между А1 и А3. Пусть В1, В2, В3 – соответствующие точки пересечения параллельных прямых с другой стороной угла. Докажем, что если А1А2=А2А3, то В1В2=В2В3.
Проведём через В2 прямую EF, параллельную прямой А1А3. Треугольники В2В1F и В2В3Е равны по второму признаку. Из равенства треугольников следует и равенство сторон, следовательно, В1В2=В2В3. Теорема доказана.

М-да, подобие (вернее, равенство: подобие будет использовано для "расширенной теоремы Фалеса")треугольников используется. Но параллелограммы тут точно ни при чём.

               

               

[Мёнин›]

Цитата из: Ethillen on 29-03-2006, 23:08:52
Мне кажется, тут все зависит от подхода к этому делу. Если определять вещественные числа через дроби (а не наоборот) то в этом случае, наверное будет так, как сказали Вы. Да и проблема с девяткой в периоде обходится путем отождествления этой дроби с соответствующей с нулем в периоде.


Да нет, вообще-то. Просто указанная запись дроби соответствует числу, равному именно указанной сумме.

А иррациональные числа всё равно не могут быть записаны как дробь с целыми делителем и знаменателем, или как периодическая десятичная дробь.

Цитата:
Тут справедливо замечание к первой цитате. А шестой класс и первый курс - разные вещи. 

А что - первый курс? Определение значения десятичной записи, как и сумма убывающей геометрической прогрессии, изучаются в школе.
Вот как раз определение бесконечной записи с помощью указанных неравенств содержит неточность.

               

               

[Мёнин›]

Цитата:
Да. Но какие в геометрии могут быть средства для доказательства равенства двух отрезков? Только совмещение.

Только вот при чём тут параллельный перенос, я не очень что-то понимаю.

Цитата:
Если речь идет о том, что расстояние между параллельными прямыми (в каком-нибудь смысле) одинаково вдоль всей прямой - то это как раз следует из равенства противоположным сторон параллелограмма.

Как будто Пятый Постулат следует из того, что сумма углов в треугольнике равна полуокружности...
А вообще, при чём тут параллелограмм?

               

               

[Mrrl›]

Цитата из: Арвинд on 29-03-2006, 19:34:32
Да, вот равенство длин отрезков меня и заинтересовало. Понятие расстояния, конечно, можно счесть аксиоматичным (все три аксиомы Mrrl уже привел). Но неплохо бы помнить и о том, что любое множество можно метризовать многими способами.
Метрика, выделяющая евклидову плоскость, среди других множеств, не может быть определена просто аксиомами расстояния. Вот я и спрашиваю - а чем же она определена?


Да, для того, чтобы плоскость стала евклидовой, аксиом метрики недостаточно. Во-первых, надо  усилить неравенство треугольника (чтобы d(A,B)=d(A,C)+d(B,C) было равносильно тому, что C лежит на отрезке AB ). Во-вторых, добиться того, чтобы групппа преобразований плоскости, сохраняющих и прямые и метрику, была достаточно большой - чтобы выполнялась аксиома "флагов" (про существование перемещения). В случае евклидовой плоскости и плоскости Лобачевского у преобразования получается 3 степени свободы+ориентация, а другие метрики недостаточно однородны.

Собственно, эта метрика и определяется всеми геометрическими аксиомами. После чего оказывается, что все евклидовы плоскости конгруэнтны, и могут быть получены из двумерного аффинного пространства, если на нем ввести скалярное произведение.

Цитата:
В моем представлении она связана со сдвигом, который в предыдущем сообщении определил Mrrl, и он же упомянул, что мы тут основываемся на пятом постулате.


Немного не так.
Метрика - то, что сохраняется при сдвиге (да и при любом другом преобразовании). Пятый постулат приводит к тому, что если мы сдвигаем плоскость вдоль какой-то прямой, то и параллельные ей прямые при этом сдвиге тоже скользят сами по себе. На плоскости Лобачевского это будет не так.


Цитата:
Правда, есть еще интересное свойство (*) расстояния: "на любом луче для любого расстояния существует точка на этом расстоянии от начала луча". Возможно, его и впрямь хватает для однозначной метризуемости, - но в этом свойстве никакой параллельности нет, а понятие расстояния от этого все-таки зависит, если я правильно интерпретирую разницу в определении расстояния в разных геометриях:
Цитата из: Mrrl on 29-03-2006, 07:47:39
Расстояния в сферической геометрии измеряются в радиусах сферы (т.е. в радианах), а в геометрии Лобачевского - в специальных единицах d (кажется, при сдвиге на d вдоль прямой расстояние от нее до близкой сходящейся с ней прямой изменяется в e=exp(1) раз).



Это свойство означает всего лишь, что на прямой нет дырок. Захотели мы поставить точку на расстоянии sqrt(2) от данной точки на данной прямой - пожалуйста, такая точка существует. Вместо "любого расстояния" можно было бы поставить "любое положительное алгебраическое расстояние" - получилась бы немного другая геометрия - со счетным числом точек, но с теми же аксиомами.
  Что касается единиц измерения в неплоских геометриях - они понадобились из-за того, что в теоремах косинусов я написал sin(AB) и sh(AB). Правильнее было бы sin(AB/R) для сферической геометрии и sh(AB/Q) - для плоскости Лобачевского, где Q - константа, своя для каждой плоскости.


Цитата:
Может быть, конечно, и такое: свойство (*) однозначно определяет расстояние в любой геометрии, но в зависимости от нашей аксиоматики другие свойства расстояния меняются (откуда и потребность в разных единицах измерения).


Почти. Свойство (*) не определяет расстояние, а использует его. Но остальные свойства (вроде теоремы Пифагора) точно зависят от аксиоматики.


Цитата:



               

               

[Mrrl›]

Цитата из: Мёнин on 29-03-2006, 23:25:43

Цитата:
Если речь идет о том, что расстояние между параллельными прямыми (в каком-нибудь смысле) одинаково вдоль всей прямой - то это как раз следует из равенства противоположных сторон параллелограмма.

Как будто Пятый Постулат следует из того, что сумма углов в треугольнике равна полуокружности...
А вообще, при чём тут параллелограмм?



А вот при чем.

Итак, пусть есть параллельные прямые AB и CD. Нужно доказать, что расстояние от точек C и D до прямой AB одинаково. Для этого опустим перпендикуляры CC' и DD' из этх точек на прямую. То, что они параллельны, доказывается... (или нет? надо подумать). Получаем, что CC'D'D - параллелограмм. Его противоположные стороны равны, значит, и расстояния равны.

А Вы как предлагаете это доказывать?

Цитата из: Мёнин on 29-03-2006, 23:14:00
http://geometry9.narod.ru/Bilet15.doc

Теорема Фалеса: Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.
Докаательство: Пусть А1, А2, А3 – точки пересечения параллельных прямых с одной сторон0й угла и А2 лежит между А1 и А3. Пусть В1, В2, В3 – соответствующие точки пересечения параллельных прямых с другой стороной угла. Докажем, что если А1А2=А2А3, то В1В2=В2В3.
Проведём через В2 прямую EF, параллельную прямой А1А3. Треугольники В2В1F и В2В3Е равны по второму признаку. Из равенства треугольников следует и равенство сторон, следовательно, В1В2=В2В3. Теорема доказана.

М-да, подобие (вернее, равенство: подобие будет использовано для "расширенной теоремы Фалеса")треугольников используется. Но параллелограммы тут точно ни при чём.



Ну-ну...

"Треугольники В2В1F и В2В3Е равны по второму признаку" То есть, откуда-то взяли, что B2F=B2E. Я вижу для этого только одно обоснование - тот факт, что B2F=A2A3 и B2E=A2A1. А как это можно получить, не используя того, что B2FA3A2 и B2EA1A2 - параллелограммы?

               

               

[Ethillen›]

Цитата из: Мёнин on 29-03-2006, 23:22:51
Да нет, вообще-то. Просто указанная запись дроби соответствует числу, равному именно указанной сумме.

Ну, никто же нам не запрещает поставить в соответствие этой записи единственное число, содержащееся в упомянутой стягивающейся системе вложенных полуинтервалов. Тогда Ваше утверждение надо еще доказывать.

Цитата из: Мёнин on 29-03-2006, 23:22:51
А что - первый курс? Определение значения десятичной записи, как и сумма убывающей геометрической прогрессии, изучаются в школе.


А потом на первом курсе предлагается об этом напрочь забыть(речь идет о бесконечной десятичной дроби) и про прогрессии вообще не вспоминать.  

Цитата из: Mrrl
Да, для того, чтобы плоскость стала евклидовой, аксиом метрики недостаточно.

Я, наверное, многого не понимаю, но нам давали такое определение евклидова пространства: это линейное пр-во, в котором задана положительно определенная квадратичная форма. И все.

               

               

[Мёнин›]

Mrrl, эти два треугольника равны по второму признаку равенства треугольников, по стороне и двум углам, а что?
Это как раз с параллелограммом это доказывается потом...

Цитата из: Ethillen on 29-03-2006, 23:44:24
Ну, никто же нам не запрещает поставить в соответствие этой записи единственное число, содержащееся в упомянутой стягивающейся системе вложенных полуинтервалов.

Э, нет, это как раз единственность записи надо ещё доказывать
Цитата:
 Тогда Ваше утверждение надо еще доказывать.

Повторюсь, это определение десятичной записи вообще, в том числе - целых чисел.


Цитата:
А потом на первом курсе предлагается об этом напрочь забыть(речь идет о бесконечной десятичной дроби) и про прогрессии вообще не вспоминать. 

Ну почему же забыть? В конце первого курса ряды, там бесконечные суммы те же.

               

               

[Mrrl›]

Цитата из: Мёнин on 29-03-2006, 23:47:12
Mrrl, эти два треугольника равны по второму признаку равенства треугольников, по стороне и двум углам, а что?
Это как раз с параллелограммом это доказывается потом...



И какие же стороны у этих треугольников (В2В1F и В2В3Е) равны? И почему? В условии у нас есть единственное равенство - A1A2=A2A3.

Цитата из: Ethillen on 29-03-2006, 23:44:24

Цитата из: Mrrl
Да, для того, чтобы плоскость стала евклидовой, аксиом метрики недостаточно.

Я, наверное, многого не понимаю, но нам давали такое определение евклидова пространства: это линейное пр-во, в котором задана положительно определенная квадратичная форма. И все.



Да, "евклидово пространство" - это хорошая модель. Но мы сейчас рассматриваем аксиоматику "школьной" геометрии. И смотрим, что и как из нее можно вывести.

               

               

[Симагин Гендо›]

Цитата из: Mrrl on 19-03-2006, 15:42:54
 Что и понятно - тогда каждое число имеет единственное представление, что немаловажно при работе с этими объектами.


И какой, по-вашему, смысл в единственности представления?

Цитата из: Mrrl on 26-03-2006, 01:06:13
 А для промежуточной мощности пока нет механизмов.


Да разве? Алеф-1, например, строится через аксиому выбора. (конкретнее, алеф-1 - иножество неэквивалентных способов полного упорядочивания счётного множества).

               

               

[Mrrl›]

Цитата из: Симагин Гендо on 30-03-2006, 14:13:18

Цитата из: Mrrl on 19-03-2006, 15:42:54
 Что и понятно - тогда каждое число имеет единственное представление, что немаловажно при работе с этими объектами.


И какой, по-вашему, смысл в единственности представления?



Пожалуй, с точки зрения математика - никакого. Мы всегда можем работать с классом эквивалентности записей. Правда, после этого станут намного сложнее построения, использующие структуру записи (вместо "рациональное число с четным числителем" придется рассматривать "рациональное число, в числитель которого число 2 входит в большей степени, чем в знаменатель" - и это только начало). С другой стороны, всевозможные фактор-множества используются сплошь и рядом - и ничего.

Цитата из: Симагин Гендо on 30-03-2006, 14:13:18

Цитата из: Mrrl on 26-03-2006, 01:06:13
 А для промежуточной мощности пока нет механизмов.


Да разве? Алеф-1, например, строится через аксиому выбора. (конкретнее, алеф-1 - иножество неэквивалентных способов полного упорядочивания счётного множества).



полное упорядочивание - это когда результат вполне упорядочен? Если да, то мы вполне упорядочиваем p(aleph_0) и рассматриваем множество всех элементов, меньше которых при этом порядке только счетное число элементов (т.е. множество всех счетных ординалов). Действительно, получается aleph_1. Но то, что он существует, мы и так знали.

Получается, что мы можем работать с множеством aleph_1 (все счетные ординалы), можем - с континуумом (все подмножества счетного множества), и при этом никогда не узнаем, равны они или нет.

==============

Одно из утверждений, эквивалентных (?) аксиоме выбора - что любое множество может быть вполне упорядочено. Между тем, ординалы строятся без аксиомы выбора. Что бы это значило? Что существует множество, не эквивалентное ни одному ординалу?
 


               

               

[Арвинд›]

Цитата из: Симагин Гендо on 30-03-2006, 14:13:18

Цитата из: Mrrl on 26-03-2006, 01:06:13
 А для промежуточной мощности пока нет механизмов.
Да разве? Алеф-1, например, строится через аксиому выбора. (конкретнее, алеф-1 - иножество неэквивалентных способов полного упорядочивания счётного множества).
Если я правильно понял Mrrl, он вел речь о механизмах нахождения промежуточной мощности именно как промежуточной - т.е. "механизм" должен включать доказательство того, что такое множество не только несчетное, но и меньше континуума.
Доказательство, основанное на включении в аксиоматику отрицания континуум-гипотезы, все-таки не является искомым механизмом - оно не приводит нас к существованию множества промежуточной мощности, а исходит из предположения о таком существовании.

Цитата из: Mrrl on 30-03-2006, 15:34:00
Получается, что мы можем работать с множеством aleph_1 (все счетные ординалы), можем - с континуумом (все подмножества счетного множества), и при этом никогда не узнаем, равны они или нет.
Никогда - если только не обнаружится та самая недостающая аксиома. Поскольку она не желает находиться, постольку я и отношу континуум-гипотезу к абсолютно неразрешимым суждениям. Вроде бы мы определили, с чем работаем, - а сравнить не можем!

Цитата:
Одно из утверждений, эквивалентных (?) аксиоме выбора - что любое множество может быть вполне упорядочено. Между тем, ординалы строятся без аксиомы выбора. Что бы это значило? Что существует множество, не эквивалентное ни одному ординалу?
 Не очень понял вопроса. Ординал - это класс эквивалентности вполне упорядоченных множеств. Без аксиомы выбора, разумеется, мы имеем право говорить о множествах, которые не будут вполне упорядоченными - мы лишили себя метода ввести на них порядок. Что здесь вызывает сомнение?

Кстати, "множество, не эквивалентное ни одному ординалу" - это неудачная формулировка. Ординал определен для пары "множество, отношение порядка". Без второй составляющей мы ничего сказать не можем - на одном и том же запасе элементов можно строить самые разные ординалы.

Еще кстати: вот тут (http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=20&page=11) наткнулся на странную фразу:
Цитата:
В 1930-е годы Гедель доказал, что континуум-гипотеза непротиворечива со стандартной аксиоматикой, в 1960-е годы Коэн понял, что отрицание континуум-гипотезы также непротиворечиво с этой аксиоматикой, в 1980-е была как раз доказана теорема о том, что "может быть все что угодно".
 Знаю результат Геделя и Коэна (когда-то даже понимал доказательство   ). А вот что за теорема 1980-х - не знаю...

               

               

[Mrrl›]

Цитата из: Арвинд on 31-03-2006, 00:07:58

Цитата:
Одно из утверждений, эквивалентных (?) аксиоме выбора - что любое множество может быть вполне упорядочено. Между тем, ординалы строятся без аксиомы выбора. Что бы это значило? Что существует множество, не эквивалентное ни одному ординалу?
 Не очень понял вопроса. Ординал - это класс эквивалентности вполне упорядоченных множеств. Без аксиомы выбора, разумеется, мы имеем право говорить о множествах, которые не будут вполне упорядоченными - мы лишили себя метода ввести на них порядок. Что здесь вызывает сомнение?

Кстати, "множество, не эквивалентное ни одному ординалу" - это неудачная формулировка. Ординал определен для пары "множество, отношение порядка". Без второй составляющей мы ничего сказать не можем - на одном и том же запасе элементов можно строить самые разные ординалы.




Я имел в виду "не равное по мощности ни одному ординалу".

               

               

[Арвинд›]

А, т.е. предполагалась такая цепочка рассуждений:

Мы знаем, что существуют множества, которые можно вполне упорядочить только при использовании АВ. Рассмотрим такое множество (А). Пусть у нас есть ординал (О), равномощный этому множеству (точнее, О - конкретный представитель этого ординала). Тогда мы можем ввести порядок на А тривиальным образом: для двух элементов А рассмотрим их образы в О, и будем считать первым в А тот, образ которого первый в О.

Не вижу тут ошибок. Да, если мы отказываемся от АВ, у нас появляются неупорядочиваемые множества, соответственно, набор существующих ординалов уменьшается на те мощности, для которых порядок задать нельзя. Вроде все правильно?

               

               

[Mrrl›]

Да, так. И мне кажется, что все еще хуже - если какое-то множество нельзя вполне упорядочить, то то же верно и для больших его по мощности. Т.е. цепочка ординалов где-то обрывается. И еще интереснее: если нельзя вполне упорядочить, например, aleph_1, то "все счетные ординалы" не образуют множества! Т.е. классы, не являющиеся множествами, возникают почти сразу, а не на "очень больших" мощностях.

               

               

[Арвинд›]

Цитата из: Мёнин on 29-03-2006, 23:25:43

Цитата:
Да. Но какие в геометрии могут быть средства для доказательства равенства двух отрезков? Только совмещение.
Только вот при чём тут параллельный перенос, я не очень что-то понимаю.
Мёнин, это я всего лишь не знаю аксиом элементарной геометрии   Так уж вышло - в школе строгие формулировки не использовались. Мои сверстники это наверстали в матклассе, но я отучился в гуманитарном. В университете как-то не чувствовал потребности оглянуться на элементарную математику, только сейчас стало интересно...

Пытаясь воссоздать построение геометрии, отталкиваясь от теорем, что я помню, я пришел к т. Фалеса как одному из основополагающих фактов - в моей реконструкции ее надо было доказывать до признаков равенства треугольников. По факту обсуждения этого вопроса здесь я понял, в чем ошибался. Мне нужны были методы доказательства равенства длин отрезков. Я понимал, что в самом начале это должно делаться только с помощью движения. Но о сдвиге, сохраняющем длины, и не задействующем понятие параллельности, я не подумал. Из-за этого переоцененного значения параллельности и т. Фалеса попала у меня в число первых, которые надо доказывать.

Цитата из: Ethillen on 29-03-2006, 23:44:24
Я, наверное, многого не понимаю, но нам давали такое определение евклидова пространства: это линейное пр-во, в котором задана положительно определенная квадратичная форма.
Как-то непривычно видеть в этой формулировке термин "квадратичная форма". Мне кажется, что в такой формулировке Ваше определение подходит только для конечномерных пространств, а это лишнее ограничение.

Как бы то ни было, "евклидово пространство" как термин современной математики - это не та "евклидова плоскость" или трехмерное "евклидово пространство", которые определяются аксиомами геометрии. Разный подход. При этом, как справедливо заметил Mrrl, результаты близкие:
Цитата из: Mrrl on 29-03-2006, 23:27:03
оказывается, что все евклидовы плоскости конгруэнтны, и могут быть получены из двумерного аффинного пространства, если на нем ввести скалярное произведение.


Собственно, современный термин "евклидово пространство" не мог бы возникнуть, если б не было этого результата.

               

               

[Арвинд›]

Цитата из: Mrrl on 31-03-2006, 01:07:36
если какое-то множество нельзя вполне упорядочить, то то же верно и для больших его по мощности.

Похоже на правду (спать пора, голова не работает).
Учитывая т. Кантора-Бернштейна или как её там. Во множестве большей мощности можно найти подмножество, эквивалентное рассматриваемому неупорядоченному множеству... Порядок индуцируется... Да, все правильно.

Цитата:
И еще интереснее: если нельзя вполне упорядочить, например, aleph_1, то "все счетные ординалы" не образуют множества!
А это почему? Может, утром это окажется очевидным, но пока я не понял.

               

               

[Mrrl›]

Цитата из: Арвинд on 31-03-2006, 01:39:53

Цитата:
И еще интереснее: если нельзя вполне упорядочить, например, aleph_1, то "все счетные ординалы" не образуют множества!
А это почему? Может, утром это окажется очевидным, но пока я не понял.


Ну как же: это множество S всех счетных ординалов было бы очередным ординалом (по определению). Если оно оказалось счетным, то должно было бы попасть в S (т.е. либо S содержит само себя, либо неправильно построено). Если оно несчетно, то его мощность должна равняться aleph_1, и получилось бы его полное упорядочение.