Тема: Метаматематика

[Mrrl›]

Цитата из: Мёнин on 15-02-2006, 18:52:19
 Магией пытаются заниматься, думая, что её понимают, многие миллионы; а математический анализ.... мнэээ... его проходят, конечно, почти все, кто получает высшее образование (хотя уже таких не так много), а вот понимают...

и если студент - программист, технарь то есть! - второго курса не может осознать равенство 0,(9)=1,(0), и не принимает доказательства из учебника по математике для шестого класса - следует ли из этого, что мат.ан. - магия или великая мистическая дисциплина?

Ну... "равенство"   0,(9)=1,(0) я вообще принять не могу, поскольку "0,(9)" не является корректной записью действительного числа ("положительным действительным числом  называют бесконечную десятичную дробь , не оканчивающуюся последовательностью девяток"). Что касается доказательства для шестого класса - зависит от конкретной теоремы. В школьных доказательствах математик может найти много допущений ("здесь неявно используется полнота поля действительных чисел", "здесь надо аккуратно сослаться на лемму Жордана - и это займет не меньше страницы", "а это вообще ниоткуда не следует и доказывается, в лучшем случае, на спецкурсе по общей топологии").

Наверное, матанализ (а также топология, квантовая механика, генетика и прочее) действительно мистические дисциплины. В том смысле, что тому, кто их поймет, откроются такие грани бытия и возможности (для его изучения и понимания, а иногда - и для предсказания), какие непосвященным и не снились. Особенно когда они претендуют на описание мира, но при этом строятся по принципу "а вот красивая модель, которая вроде бы что-то описывает - значит, ее можно взять за основу теории (пока не уткнемся в противоречие)".

И насчет мистицизма математических дисциплин - а попробуйте-ка ответить на вопрос: почему если в кошельке было N монет и мы добавили туда еще одну, то в нем оказалась N+1 монета - причем именно для этой операции сложения, а не для любой другой полугруппы, определенной на R+ ? Я пока не вижу ответа (кроме попыток сослаться на закон сохранения массы и энергии).

               

               

[Мёнин›]

Цитата из: Mrrl on 27-02-2006, 11:55:36
Ну... "равенство"   0,(9)=1,(0) я вообще принять не могу, поскольку "0,(9)" не является корректной записью действительного числа ("положительным действительным числом  называют бесконечную десятичную дробь , не оканчивающуюся последовательностью девяток").


Никогда не встречал подобного. Эта запись некорректна, как некорректно записывать ответ на задачу как 3/6 (т.к. 3/6 = 1/2)

Цитата:
 Что касается доказательства для шестого класса - зависит от конкретной теоремы. В школьных доказательствах математик может найти много допущений ("здесь неявно используется полнота поля действительных чисел", "здесь надо аккуратно сослаться на лемму Жордана - и это займет не меньше страницы", "а это вообще ниоткуда не следует и доказывается, в лучшем случае, на спецкурсе по общей топологии").
 
Я знаю примерно пять доказательств этому, из которых только одно использует первое из указанных утверждений.

Цитата:
И насчет мистицизма математических дисциплин - а попробуйте-ка ответить на вопрос: почему если в кошельке было N монет и мы добавили туда еще одну, то в нем оказалась N+1 монета - причем именно для этой операции сложения, а не для любой другой полугруппы, определенной на R+ ? Я пока не вижу ответа (кроме попыток сослаться на закон сохранения массы и энергии).

Потому что операция счёта так определена. С арифиметикой Пеано знакомы?

               

               

[Арвинд›]

Цитата из: Мёнин on 18-03-2006, 16:27:11

Цитата:
И насчет мистицизма математических дисциплин - а попробуйте-ка ответить на вопрос: почему если в кошельке было N монет и мы добавили туда еще одну, то в нем оказалась N+1 монета - причем именно для этой операции сложения, а не для любой другой полугруппы, определенной на R+ ? Я пока не вижу ответа (кроме попыток сослаться на закон сохранения массы и энергии).

Потому что операция счёта так определена. С арифиметикой Пеано знакомы?

Я вот тоже все время удивляюсь, что количества предметов в реальном мире складываются и умножаются в полном соответствии с теорией. Доказательства доказательствами - а что-то мистическое в этом есть...

               

               

[Мёнин›]

Цитата из: Арвинд on 18-03-2006, 16:46:32

Цитата из: Мёнин on 18-03-2006, 16:27:11
Потому что операция счёта так определена. С арифиметикой Пеано знакомы?

Я вот тоже все время удивляюсь, что количества предметов в реальном мире складываются и умножаются в полном соответствии с теорией. Доказательства доказательствами - а что-то мистическое в этом есть...


Доказать арифметику и нельзя. Это, кажется, Гёдель.
Складывание и умножение доказываются из двух допущений - определение счёта и допущение логичности.

"Мистической" можно назвать в данном случае саму логику.
"Мистичной" оказывается сама возможность познания.

Хотя я не против утверждения "наука - тоже мистика" 

               

               

[Mrrl›]

Цитата из: Мёнин on 18-03-2006, 16:27:11

Цитата из: Mrrl on 27-02-2006, 11:55:36
Ну... "равенство"   0,(9)=1,(0) я вообще принять не могу, поскольку "0,(9)" не является корректной записью действительного числа ("положительным действительным числом  называют бесконечную десятичную дробь , не оканчивающуюся последовательностью девяток").


Никогда не встречал подобного. Эта запись некорректна, как некорректно записывать ответ на задачу как 3/6 (т.к. 3/6 = 1/2)



Конкретную формулировку я взял с вот этой страницы (http://www.kspu.ru/magazine/no2/pub/12.htm). Учебника, на который там ссылаются, у меня нет, но я не вижу оснований сомневаться в корректности ссылки. И насколько я помню, при объяснении представления действительных чисел десятичной дробью всегда явно говорилось, что "хвост девяток" запрещен. (У кого есть учебник матана для 1 курса - посмотрите, пожалуйста - что там про десятичное представление?) Что и понятно - тогда каждое число имеет единственное представление, что немаловажно при работе с этими объектами. Насчет 3/6 - пока ничего сказать не могу, надо посмотреть что есть корректная запись рационального числа. Не исключено, что требование каноничности сработает и там (т.е. для корректности записи p/q - как рационального числа, а не примера на деление - необходимо (p,q)=1; q>0).

Цитата:

Цитата:
 Что касается доказательства для шестого класса - зависит от конкретной теоремы. В школьных доказательствах математик может найти много допущений ("здесь неявно используется полнота поля действительных чисел", "здесь надо аккуратно сослаться на лемму Жордана - и это займет не меньше страницы", "а это вообще ниоткуда не следует и доказывается, в лучшем случае, на спецкурсе по общей топологии").
 
Я знаю примерно пять доказательств этому, из которых только одно использует первое из указанных утверждений.



Чему "этому"? Разве конкретная формулировка теоремы была приведена?

Цитата:

Цитата:
И насчет мистицизма математических дисциплин - а попробуйте-ка ответить на вопрос: почему если в кошельке было N монет и мы добавили туда еще одну, то в нем оказалась N+1 монета - причем именно для этой операции сложения, а не для любой другой полугруппы, определенной на R+ ? Я пока не вижу ответа (кроме попыток сослаться на закон сохранения массы и энергии).

Потому что операция счёта так определена. С арифиметикой Пеано знакомы?



Операция сложения определена через кошелек с монетами? ? ? Позвольте вам не поверить. Аксиоматика Пеано - не более, чем аксиоматика. Непонятно, какое отношение она имеет к реальному миру.

Кстати, утверждение про кошелек верно только если в кошельке
- нет дырки
- нет лужи достаточно сильной кислоты
- нет монетодробилки, превращающей одну монету в несколько.
Как арифметика может учесть подобные факторы - не понимаю.

Впрочем, есть более "простые" вопросы:
- почему если мы положили в пустой кошелек монету, то (1) в нем теперь есть монета и (2) когда мы эту монету достанем, то кошелек будет пустым;
- почему если мы положили в кошелек одну монету, а потом еще одну монету, то мы положили в него две монеты ("две"=next(1) в смысле "арифметики Пеано")?


Цитата из: Мёнин on 18-03-2006, 17:16:39
Складывание и умножение доказываются из двух допущений - определение счёта и допущение логичности.



А можно попросить расшифровку этих понятий или ссылку на нее?



Цитата из: Мёнин on 18-03-2006, 17:16:39
Доказать арифметику и нельзя. Это, кажется, Гёдель.



Если арифметика - это система аксиом, то можно доказать непротиворечивость этой системы, предъявив модель, для которой эти аксиомы выполняются. Не более того. И это можно сделать, выйдя за пределы теории - например, в аксиоматике Цермело-Френкеля. Конечно, непротиворетивость ZF мы доказать тоже не можем - придется в нее верить.

Цитата:
Хотя я не против утверждения "наука - тоже мистика" 



К чему я и клоню. Ведь что такое арифметика? Для нематематика - это набор ритуалов, которые необходимо освоить в начальной (а самые сложные - в средней) школе, которые, если их правильно применять, дают определенную власть над миром, и которые совершенно не требуют объяснения и понимания - а почему надо делать именно так и почему это работает?
  Для математика - набор объектов и аксиом для них, позволяющий объяснить правила, которыми пользуются нематематики, и при необходимости придумать новые. Вопрос, какое отношение эти аксиомы имеют к реальности, считается неприличным, кощунственным и еретическим.
  Чем не религия?

               

               

[Mrrl›]

* Немного почитав тему "Физика и вера" (http://tolkien.ru/forum/index.php?topic=711.0), упомянутую в предыдущем разговоре, я тут же бросился искать в ней опечатки. Не всегда удачно  *


В ZF счетное число аксиом? Как интересно...

               

               

[Арвинд›]

Да, в ZF есть схема аксиом выделения - т.е. однородным способом задано бесконечное количество аксиом.

Еще сомнения?

               

               

[Mrrl›]

Чем-то не понравилось, что "все рассматриваемые в этой теории множества суть подмножества универсума". Разумеется, это верно, но не будет ли более сильным, и, главное, более полезным утверждение, что множества - элементы Универсума (того единственного, который с большой буквы)? Иначе, поскольку Универсум - не множество, придется объяснять, как отличать его подмножество от подкласса, множеством не являющегося, и т.д.
  Дальше пока читаю. Про "схему аксиом выделения" - понятно. Формулы, описывающие свойства... 

               

               

[Арвинд›]

Цитата из: Mrrl on 22-03-2006, 00:07:13
Чем-то не понравилось, что "все рассматриваемые в этой теории множества суть подмножества универсума". Разумеется, это верно, но не будет ли более сильным утверждением, что множества - элементы универсума?

В приложениях все-таки более естественной выглядит моя формулировка.
См. ту же аксиоматику Колмогорова. Он же неслучайно начал с пространства элементарных исходов - хотя можно было бы, наверное, сразу алгеброй событий заняться.

Кстати, Mrrl - прошу прощения, я про Вас не подумал, когда писал о "всех заметных посетителях форума". Уверен, что Вы разбираетесь в этих вопросах не хуже, а лучше меня. Во всяком случае, заметно, что Вы более сильный математик.

Еще, кстати: там точно есть одна неправильная фраза - по поводу алгоритма самоприменимости. Как Вы помните, реально пытаются не его самому себе подсунуть, а строят другой алгоритм, с которым проделывают эту махинацию. Я тогда понимал, что ввожу в некоторое заблуждение, но у меня не было цели писать настолько формально правильно. Идею я не исказил.

               

               

[Арвинд›]

Цитата из: Mrrl on 22-03-2006, 00:07:13
поскольку универсум - не множество

С одной стороны - это, конечно, так. С другой, если мы сравним абстрактное понятие с реально используемыми, то заметим, что в большом числе теорий у нас есть именно множество, в которое вложено все остальное.
Не знаю, как Вы, а я в свою бытность студентом заметил, что мои друзья на определенном этапе все приучились начинать рассмотрение новой задачи с вопроса "а в каком пространстве мы живем?". Эта культивируемая в учениках привычка жить всегда в каком-то пространстве - она ж полезна не только потому, что нам бесплатно достаются метрика, норма и иные структурные шедевры, но и (в чем мы не отдавали себе отчет) ненавязчиво защищает от парадоксов.
И топологическое пространство - это не только система окрестностей, но и множество элементов, верно?
А все остальные пространства (мне знакомые) - это усиления топологического.

               

               

[Mrrl›]

Цитата из: Арвинд on 22-03-2006, 01:48:50
в большом числе теорий у нас есть именно множество, в которое вложено все остальное.


Конечно. Классы, не являющиеся множествами, вообще появляются, в основном, когда мы пытаемся работать "со всеми множествами", вблизи границ применимости ZF. И если их признаки обнаружились в более частной теории - надо следить внимательнее.

Цитата:
Не знаю, как Вы, а я в свою бытность студентом заметил, что мои друзья на определенном этапе все приучились начинать рассмотрение новой задачи с вопроса "а в каком пространстве мы живем?". Эта культивируемая в учениках привычка жить всегда в каком-то пространстве - она ж полезна не только потому, что нам бесплатно достаются метрика, норма и иные структурные шедевры, но и (в чем мы не отдавали себе отчет) ненавязчиво защищает от парадоксов.



Не помню. Сейчас чаще получается наоборот - после получения очередного объекта смотрим "какие у него свойства?", "на что он похож?" и уже тогда - "что же это за теория/аксиоматика/пространство, в котором этот объект находится, и какие дополнительные возможности оно дает"?

Цитата:
И топологическое пространство - это не только система окрестностей, но и множество элементов, верно?


По определению, да. А вообще, интересно. Если объявить все последовательности вложенных интервалов на отрезке точками некоторого нового пространства (с понятно какой эквивалентностью) - что получится? (неинтересно. Вот если перейти к пределу... *облизывается*)


               

               

[Мёнин›]

Цитата из: Mrrl on 19-03-2006, 15:42:54
Насчет 3/6 - пока ничего сказать не могу, надо посмотреть что есть корректная запись рационального числа. Не исключено, что требование каноничности сработает и там (т.е. для корректности записи p/q - как рационального числа, а не примера на деление - необходимо (p,q)=1; q>0).


Да, есть требование канонической записи. Однако, в процессе вычислений вполне может возникнуть запись 3/6, так же, как и 0,(9). Следующим же действием будет приведение их в запись каноническую.
Видите ли, запись "2х2" тоже не есть корректная запись числа 4, однако, равенство 2х2=4 остаётся.

Цитата:
Разве конкретная формулировка теоремы была приведена?

Существуют способы доказательства, единственным "не-школьным" допущением в которых будет полная мат.индукция.

Цитата:
Операция сложения определена через кошелек с монетами? ? ?
 
Нет, операция сложения определена таким образом, что следующее за N число PN = N+1.

Цитата:
Аксиоматика Пеано - не более, чем аксиоматика. Непонятно, какое отношение она имеет к реальному миру.

Вполне прямое. Её действия выполнимы и проверяемы на практике, если речь не идёт о квантовой физике.

Цитата:
Как арифметика может учесть подобные факторы - не понимаю.

А это должен учесть тот человек, который строит модель. Арифметика, которую рассмотрели заранее, была моделью кошелька без дырки и прочих явлений, повреждающих монеты. Арифметическую модель кошелька без дна построить тоже можно. Модель дырявого в некоторых местах кошелька уже должна быть из мат.статистики, а для точности - физики.

Цитата:
- почему если мы положили в пустой кошелек монету, то (1) в нем теперь есть монета и (2) когда мы эту монету достанем, то кошелек будет пустым;

(1) потому что мы её туда положили. (2) Потому что мы её достанем.

Цитата:
- почему если мы положили в кошелек одну монету, а потом еще одну монету, то мы положили в него две монеты ("две"=next(1) в смысле "арифметики Пеано")?

Именно потому, что два определено как число, следующее за 1.

Вот то самое допущение логичности.

Цитата:

Цитата из: Мёнин on 18-03-2006, 17:16:39
Складывание и умножение доказываются из двух допущений - определение счёта и допущение логичности.


А можно попросить расшифровку этих понятий или ссылку на нее?

А что здесь непонятно?
Допущение логичности есть допущение, что равенства классической логики, а также её основные силлогизмы выполняются (их, впрочем, можно описать через таблицы истинности - но нужно принять хотя бы их действительность)

Цитата:
Если арифметика - это система аксиом, то можно доказать непротиворечивость этой системы, предъявив модель, для которой эти аксиомы выполняются. Не более того. И это можно сделать, выйдя за пределы теории - например, в аксиоматике Цермело-Френкеля. Конечно, непротиворетивость ZF мы доказать тоже не можем - придется в нее верить.

Ну, доказать пятый постулат Евклида тоже можно, исходя из утверждения, что сумма углов в треугольнике - 180^о.
Так или иначе, какие-то основные утверждения будут приняты аксиоматически.


Цитата:
Для математика - набор объектов и аксиом для них, позволяющий объяснить правила, которыми пользуются нематематики, и при необходимости придумать новые. Вопрос, какое отношение эти аксиомы имеют к реальности, считается неприличным, кощунственным и еретическим.
  Чем не религия?

Вообще говоря, математика полезна, когда отношение к реальности имеет.
Имеют отношение к реальности числа Фибоначчи (к золотому сечению, которое выполнено часто в биологии), используются простые числа, некоторые области нашего пространства надо описывать геометрией Лобачевского, а не Евклида...
Обобщённые функции могут вызвать ступор у человека, мало знакомого с мат.анализом (да и в смысле классического анализа они тоже "неправильные"), но они не то что нужны физикам - их физики и придумали...
Так что даже весьма странные вещи в математике полезны.

               

               

[Mrrl›]

Цитата из: Мёнин on 22-03-2006, 16:33:59
Да, есть требование канонической записи. Однако, в процессе вычислений вполне может возникнуть запись 3/6, так же, как и 0,(9). Следующим же действием будет приведение их в запись каноническую.
Видите ли, запись "2х2" тоже не есть корректная запись числа 4, однако, равенство 2х2=4 остаётся.



Хорошо. 2х2 или 3/6 - это математические действия, с ними спорить не будем. Но что это за действие 0.(9) ? Разве периодические дроби используются для чего-нибудь, кроме записи числа?

Конечно, я могу себе представить рассуждение вроде 0.(3)+0.(6)=0.(9)=1.(0), но это слишком уж частный случай: нужно и чтобы период был одинаков, и чтобы переноса разряда за пределы периода не было. Лучше уж в рациональных числах.


Цитата:

Цитата:
Разве конкретная формулировка теоремы была приведена?

Существуют способы доказательства, единственным "не-школьным" допущением в которых будет полная мат.индукция.


Не зная теоремы, не могу возразить.

Цитата:

Цитата:
Операция сложения определена через кошелек с монетами? ? ?
 
Нет, операция сложения определена таким образом, что следующее за N число PN = N+1.


Это да. Тогда можно спросить, почему стало PN монет (а не N и не 2xN).

Цитата:

Цитата:
Аксиоматика Пеано - не более, чем аксиоматика. Непонятно, какое отношение она имеет к реальному миру.

Вполне прямое. Её действия выполнимы и проверяемы на практике, если речь не идёт о квантовой физике.


Вероятно, как и мистические ритуалы. Выполнимы и проверяемы.

Цитата:

Цитата:
Как арифметика может учесть подобные факторы - не понимаю.

А это должен учесть тот человек, который строит модель. Арифметика, которую рассмотрели заранее, была моделью кошелька без дырки и прочих явлений, повреждающих монеты. Арифметическую модель кошелька без дна построить тоже можно. Модель дырявого в некоторых местах кошелька уже должна быть из мат.статистики, а для точности - физики.


Т.е. кошелек удовлетворяет некоторым аксиомам. Я тут попробовал построить аксиоматику кошелька без дырки. После того, как в нее проникли свободные неабелевы полугруппы, бросил. А без них не получалось. Но если бы и получилось - все равно выполнение аксиом мы можем либо подтвердить опытом (и то не всегда - проверка может разрушить состояние объекта), либо поверить в него.

Цитата:

Цитата:
- почему если мы положили в кошелек одну монету, а потом еще одну монету, то мы положили в него две монеты ("две"=next(1) в смысле "арифметики Пеано")?

Именно потому, что два определено как число, следующее за 1.



Вспомним "День Сурка". Там герой периодически доставал мешок с деньгами из машины. Сколько бы раз он его не доставал - в итоге все равно получалось, что достал он его не более одного раза. Можно привести и обратный пример (анекдот про склеротика и молодую жену).

Цитата:

Цитата:
Если арифметика - это система аксиом, то можно доказать непротиворечивость этой системы, предъявив модель, для которой эти аксиомы выполняются. Не более того. И это можно сделать, выйдя за пределы теории - например, в аксиоматике Цермело-Френкеля. Конечно, непротиворетивость ZF мы доказать тоже не можем - придется в нее верить.

Ну, доказать пятый постулат Евклида тоже можно, исходя из утверждения, что сумма углов в треугольнике - 180^о.
Так или иначе, какие-то основные утверждения будут приняты аксиоматически.


А доказывать аксиомы я и не предлагал.

Цитата:

Цитата:
Для математика - набор объектов и аксиом для них, позволяющий объяснить правила, которыми пользуются нематематики, и при необходимости придумать новые. Вопрос, какое отношение эти аксиомы имеют к реальности, считается неприличным, кощунственным и еретическим.
  Чем не религия?

Вообще говоря, математика полезна, когда отношение к реальности имеет <...>
Так что даже весьма странные вещи в математике полезны.



А про религию или какое-нибудь мистическое учение нельзя сказать того же самого?

               

               

[Ethillen›]

Цитата:
У кого есть учебник матана для 1 курса - посмотрите, пожалуйста - что там про десятичное представление?

Я могу быть учебником матана для 1 курса.   

Только в нашем курсе, к сожалению, представление действительных чисел в виде бесконечных десятичных дробей не используется. Поэтому в соответствующем параграфе все было изложено предельно кратко.

Дроби вида 0.(9) называются недопустимыми. Затем показывается, что между всеми допустимыми дробями и множеством R можно установить взаимно однозначное соответствие.

Про операции сложения сказано мельком, поэтому не могу говорить, имеет ли смысл запись 0.(3)+0.(6)=0.(9)=1.(0). Но факт, что 0.(9) вообще не соответствует ни какому действительному числу.

               

               

[Арвинд›]

Цитата из: Симагин Гендо on 22-03-2006, 12:29:05

Цитата из: Арвинд on 21-03-2006, 23:22:05
Рациональное познание не является всесильным, и даже в математике наталкивается на принципиально неразрешимые вопросы.

Первая половина утверждения верна, насчёт "принципиально неразрешимых вопросов" - что Вы имеете в виду? По поводу несуществования некоторых алгоритмов - этот вопрос не неразрешим. Решением является доказательство несуществования алгоритма.
О неразрешимых вопросах - я имел в виду то, что написал. Алгоритмы здесь не причем. Самые известные примеры мной также приводились - могу повторить: непротиворечивость любой математической теории, кроме исчисления высказываний и исчисления предикатов. Континуум-гипотеза. Последнюю можно при желании сделать аксиомой, но никто этого не делает - слишком наглый ход.

               

               

[Mrrl›]

Цитата из: Арвинд on 25-03-2006, 12:43:07
О неразрешимых вопросах - я имел в виду то, что написал. Алгоритмы здесь не причем. Самые известные примеры мной также приводились - могу повторить: непротиворечивость любой математической теории, кроме исчисления высказываний и исчисления предикатов. Континуум-гипотеза. Последнюю можно при желании сделать аксиомой, но никто этого не делает - слишком наглый ход.


Континуум-гипотеза, как и аксиома выбора, неразрешимы в том смысле, что мы не только не можем сказать, истинны они или нет - но и можем принять любой ответ - и строить теорию дальше. Другим аксиомам ZF они не противоречат.
  Точно так же "принципиально неразрешим" вопрос об истинности "пятого постулата Евклида". Примем его - получим одну модель, примем его отрицание - получим другую. Ни то, ни другое не противоречит другим геометрическим аксиомам.


               

               

[Арвинд›]

2 Mrrl:

Интересный вопрос, причем для меня не такой простой. Позволю себе уйти в него, может, потом мы с Вами найдем, куда приткнуть этот диалог.

Ваши разъяснения, конечно, верны - поэтому я и написал, что континуум-гипотезу можно при желании сделать аксиомой. Добавить её или её отрицание к ZF. Но в моем сообщении была еще одна оговорка, попробую ее пояснить.

Вопрос здесь в каком-то смысле даже не математический, а психологический, если хотите. Ведь математика кажется нам формализацией нашего опыта.И нам интересен не любой непротиворечивый набор аксиом, а именно тот, что подходит для построения математики как фундамента остальных точных наук. В этом смысле положение аксиомы выбора в математике лично мне понятно - я отдаю себе отчет в том, от каких ходов в матанализе придется отказаться, если запретить себе данный способ рассуждений (а ведь аксиома выбора - это попросту способ рассуждений. Некий аналог закона исключенного третьего в логике - если Вам понятна моя аналогия).
Да, без аксиомы выбора в определенных моментах становится работать сложнее. С другой стороны, то, что нельзя получить без этой аксиомы - это все-таки очень умозрительные конструкции, практически всегда - контрпримеры, а не какие-то "стержневые", т.е. важные не только математикам.
Так что ее независимость от остальных вопросов не вызывает. А с континуум-гипотезой несколько труднее. Она сформулирована как вопрос, на который должен даваться однозначный ответ. У нас нет интуиции для принятия или отвержения её как аксиомы. Мы, на данном этапе, действительно не очень представляем себе, что с ней делать. Ваше сравнение с пятым постулатом Евклида очень удачное, я его продолжу.
Смотрите: пятый постулат столетиями не хотели принимать как аксиому. Он выглядит труднее остальных. Остальные аксиомы носят такой характер, что не принять их и остаться в рамках геометрии - вообщще непредставимо. Место же постулата о параллельных в геометрии было непонятно. Позднее Лобачевский Больяи показали, что эта аксиома независима от остальных. Стало ли математикам проще? Нет. Напротив, для них ситуация стала гораздо запутаннее. Они тогда еще не ушли в свои теории настолько, чтобы не попытаться задаваться вопросом - а как же на самом деле? Гаусс, если не ошибаюсь, пытался измерять сумму углов в очень больших треугольниках. У него получилось 180 градусов, но он все равно (как мы знаем) продолжил сомневаться в том, что треугольник в реальном мире всегда евклидовский.
Так когда математический мир принял геометрию Лобачевского? После работ Бельтрами, Клейна, Римана. Благодаря им оказалось, что есть не просто "воображаемая" геометрия, противопоставленная нормальной, евклидовой, - а есть некое семейство геометрий, у которых много общего, и которые можно проецировать друг на друга. Можно условно назвать евклидову геометрию "геометрией нулевой кривизны", и изучать более общие случаи. Таким образом, пятый постулат оказался чем-то не слишком существенным. Он описывает один вариант, есть другие варианты, и, что очень важно, мы можем все эти варианты друг с другом сопоставить, мы можем их рассмотреть в совокупности.
В теории множеств у меня нет ощущения, что есть общий взгляд, который позволяет видеть и частный случай "алеф-1 = с", и случай "алеф-1 < с". Поэтому я и написал, что принять континуум-гипотезу как аксиому - это большая наглость. Хотя математики ей и пользуются как аксиомой, но хорошим тоном являются оговорки: вот здесь мы основываемся на континуум-гипотезе.
Иначе говоря, у меня лично нет ощущения, что континуум-гипотеза обработана, воспринята математиками в той же степени, как пятый постулат Евклида. Да, Гёдель и Коэн сыграли роль Лобачевского, но кто сыграет роль Клейна? Кто покажет содержательное значение теории множеств как с этой гипотезой, так и без нее?
Откровенно говоря, модели, которые строятся для демонстрации независимости гипотезы от остальных аксиом, мне не показались понятными с содержательной точки зрения (может, это  мне мозгов не хватило?).
Так что параллельное существование "канторовской" и "неканторовской" теории множеств, на мой взгляд, все-таки не то же самое, что параллельное существование евклидовой и римановской геометрии. Если в случае с пятым постулатом его независимость помогла нам правильно определить его место в геометрии, и правильно взглянуть на геометрию вообще, то в случае с континуум-гипотезой у нас образоваля произвол в выборе, который нам совершенно сейчас не нужен, и непонятно, как же нам поступать.

Все выше сказанное - мое личное ощущение, естественно.

               

               

[Mrrl›]

  Первые контрпримеры - следствия аксиомы выбора, которые мне пришли в голову - множество Витали и разбиение сферы. Первое можно считать предупреждением для всех, кто пользуется интегралами, а второе - вообще эффектная конструкция, которая, как мне кажется, рассчитана исключительно "на публику". Не очень понимаю, зачем она математикам. Правда, я в свое время (на первом курсе) смог ее понять только "с точностью до счетного множества", и как его распространить на всю сферу или на шар, осталось для меня загадкой.
  Вспоминая, что там было с континуум-гипотезой, нашел такую ссылку: http://www.ams.org/notices/200106/fea-woodin.pdf Для того, кто все это забыл (вроде меня) - очень полезная статья. Может быть, и другим пригодится.
  Только не могу вспомнить, что же такое ультрафильтр (отвечать не надо - найду).

  Разобраться бы с этими аксиомами Мартина, из которых следует, что c=алеф-2. Странный вывод, и странная, должно быть, теория.

               

               

[Арвинд›]

мне кажется, что квазиматематический кусок из этой темы желательно вырезать целиком, создав, например, в "Философии" тему "метаматематика".

Цитата из: Mrrl on 25-03-2006, 20:39:12
 Первые контрпримеры - следствия аксиомы выбора, которые мне пришли в голову - множество Витали и разбиение сферы. Первое можно считать предупреждением для всех, кто пользуется интегралами, а второе - вообще эффектная конструкция, которая, как мне кажется, рассчитана исключительно "на публику".

Ну, разбиение сферы мне не кажется очень эффектным. Кантор показал равномощность разных континуальных множеств - тогда эффект, наверное, был огромен. А данный пример - очередная иллюстрация этой равномощности, с тем отличием, что используется как бы движение твердых тел (только двигаемые множества совершенно не могут быть названы "твердыми телами").

Множество Витали - да, о нем знать надо. Вернее, надо знать, что при принятии аксиомы выбора появляются неизмеримые множества. И, если я не ошибаюсь, наоборот - при определенном ослаблении этой аксиомы неизмеримые множества исчезают. Поэтому цена принятия АВ для нас оказывается очень понятной.

Попробуем задаться глупым вопросом - а существуют ли неизмеримые множества "на самом деле"?
Получается, вроде бы, произвол. Однако он имеет определенное оправдание: есть принятые нами способы доказательства, рассуждений, выводов. Мы должны понимать, что единственно правильного способа построения доказательств нет. Мы имеем право доверять и не доверять определенным конструкциям.
Доверять - потому, что конструкции эти к противоречиям (как будто) не приводят, и имеют длительную историю применения в математике. Не доверять - потому что они, как ни крути, умозрительны.
Соответственно, вопрос о существовании неизмеримых множеств, или о принятии такого способа рассуждений, как аксиома выбора, встает в определенный контекст, в котором есть и вопросы о существовании мощностей выше счетной (мы ведь можем определенным способом вообще запретить континуум!), и вопрос о том, а можно ли нам вообще рассматривать бесконечные множества.

Таким образом, общее направление пути нам ясно: можно разрешать себе рассматривать все более далекие от проверяемого опытом абстракции, при этом натыкаться на все более необычные эффекты, но и приобретать все более мощный инструментарий. Математическое понятие "существования" оказывается тем самым зависящим от средств, которые мы признаем годным.

По-моему, все это понятно. А вот вопрос, а существуют ли "на самом деле" множества мощности меньше континуума, но больше счетной, - он для меня немножко в стороне.
Мы, конечно, можем захотеть или не захотеть постулировать сущестовование бесконечного числа промежуточных мощностей - но, во-первых, непонятны цели такого постулирования. Во-вторых, мы же не постулировали специально наличие неизмеримых множеств - мы просто согласились или не согласились с корректностью такого способа доказательств, как аксиома выбора. Никто не постулирует специально наличие континуума - просто мы захотели замкнуть числовое поле. Непрерывность никак не связана с реальным миром, это просто идея, которую математики хотят принять для красоты, для мощности своего арсенала. Или - не принять.

Почему же с трансфинитными числами такая странная ситуация получилась - что мы постулируем существование определенных объектов просто как факт, а не как следствие своих требований к способам рассуждения? Мне это непонятно.

Я действительно совершенно не вижу континуум-гипотезу ни в одном ряду с аксиомой выбора, ни в одном ряду с пятым постулатом Евклида.

За ссылку - спасибо. С первого взгляда ясно, что там есть новые для меня вещи. Жаль, работа моя уже много лет с математикой не связана, и времени занимает очень много, так что когда я смогу с этим материалом разобраться - не знаю...

               

               

[Mrrl›]

Цитата:
Попробуем задаться глупым вопросом - а существуют ли неизмеримые множества "на самом деле"?
<...>
Таким образом, общее направление пути нам ясно: можно разрешать себе рассматривать все более далекие от проверяемого опытом абстракции, при этом натыкаться на все более необычные эффекты, но и приобретать все более мощный инструментарий.
<...>
 Никто не постулирует специально наличие континуума - просто мы захотели замкнуть числовое поле. Непрерывность никак не связана с реальным миром, это просто идея, которую математики хотят принять для красоты, для мощности своего арсенала. Или - не принять.



О связи с реальным миром - можно вспомнить, что произошло в квантовой механике (до того, как придумали дискретное пространство-время). Когда "состояние" стало функцией в оченьмногомерном пространстве, а "измерение" - оператором над этим же пространстве (я ничего не путаю? После 4-го курса я этим не занимался). А потом пошли все более сложные объекты.
  Еще и дельта-функции туда же. Объект, конечно, несложный, но название с толку сбивает.
  Мало ли какая арифметика и топология потребуется на следующем шаге описания реальности? Может быть, и до неизмеримых множеств дойдут.