Цитата из: Арвинд on 29-03-2006, 01:15:47
Это все здорово, но что такое "расстояния между точками" - кроме "того, что сохраняется при перемещении"?
То, что плоскость - метрическое пространство, входит в аксиомы (расстояние определено, оно симметрично, неотрицательно и выполняется неравенство треугольника). Кроме того, на любом луче для любого расстояния существует точка на этом расстоянии от начала луча.
Цитата:
Напомните, пожалуйста, - а как в других геометриях с теоремой Пифагора дела обстоят?
Проще написать, как там дела с теоремой косинусов.
В геометрии Лобачевского:
ch(AC)=ch(AB)*ch(BC)+sh(AB)*sh(BC)*cos(B)
В сферической геометрии:
cos(AC)=cos(AB)*cos(BC)-sin(AB)*sin(BC)*cos(B)
Здесь sh,ch - гиперболические синус и косинус. Расстояния в сферической геометрии измеряются в радиусах сферы (т.е. в радианах), а в геометрии Лобачевского - в специальных единицах d (кажется, при сдвиге на d вдоль прямой расстояние от нее до близкой сходящейся с ней прямой изменяется в e=exp(1) раз).
Аналогично модифицируется теорема синусов (расстояния заменяются на sh(AB) и sin(AB) соответственно).
Кроме того, появляется теорема, двойственная теореме косинусов - та самая, которая позволяет построить треугольник по трем углам.
Цитата:
Существует только то, что просто и понятно?
Нет, из двух конкурирующих теорий выбирается более простая и понятная. Например, та в которой ForAll(a) : (a & !a).
Цитата:
"Сорок долгих лет изучал Сянь Вань Юнь древнее искусство Вин Мун Чань. А когда понял, что оно никому не нужно, - стал обучать этому искусству других".
Правильный подход. Иначе так и пропадет оно, всеми забытое и никому не нужное
Что касается Теоремы Фалеса, то я вижу такую цепочку:
- определяем центральную симметрию Z(O,l) для точки и проходящей через нее прямой, как перемещение, которое точку оставляет на месте, а лучи прямой и полуплоскости меняет местами.
- доказываем, что Z(A)=A <=> A=O
- доказываем, что если прямая l1 проходит через O, то она переходит в себя.
- доказываем, что прямая переходит в параллельную ей.
Определяем сдвиг вдоль прямой T(A,B,l) (точки A и B лежат на прямой l). Доказываем, что если прямая l1 параллельна l, то она переходит в себя, а если нет - то в параллельную себе. Для этого периодически представлям сдвиг в виде суперпозиции двух центральных симметрий. Используем транзитивность параллельности и пятый постулат.
Теперь переходим собственно к теореме. Пусть есть 4 параллельных прямых a,b,c,d, которые перескаются двумя прямыми l1, l2. Точки пересечения обозначим A1, B1, C1, D1, A2, B2, C2, D2.
Пусть dist(A1,C1)=dist(B1,D1).
Рассмотрим сдвиг T1=T(A1,B1,l1). Он переводит A1 в B1, C1 в D1, прямую a в прямую b, а прямую c в прямую d. Обозначим T1(A2) через B3 (очевидно, B3 принадлежит B). Пусть T2=T(A2,B2,l2), а T3=T(B3,B2,b). Тогда T2=T3*T1. С одной стороны, T2(C2) принадлежит прямой l2, с другой, T1 переводит c в d, а T3 переводит d в себя, следовательно, T2(C2)=T3(T1(C2)) принадлежит прямой d. Отсюда, D2=T2(C2), и поэтому, dist(A2,C2)=dist(B2,D2).
Отсюда нетрудно получить, что если отношение двух отрезков dist(A1,C1)/dist(B1,D1) рационально, то оно равно отношению dist(A2,C2)/dist(B2,D2), а вот дальше возникает проблема: почему (если отношение длин иррационально) из dist(A1,B1)>dist(A1,C1) следует, что dist(A2,B2)>dist(A2,C2)?
