Цитата из: BuMII on 09-11-2002, 23:59:16
Да, еще, скажите мне, эти комплексные числа с нулем сравнивать можно? (что-то вроде в первой четверти >0, в третьей <0 и т.п.)
Модераторы, вы уж извините за офф-топик. Человек интересуется, хочется ответить. Хотя кто мог ожидать, что предложение присудить Толкиену Нобелевку приведет к обсуждению комплексных чисел?
BuMII, нет разницы между сравнением чисел с нулем и сравнением их между собой. Да ты и сам понимаешь, что вторая и четвертая четверти как-то не очень в предложенную схему ложатся, да? Так что предложение не проходит.
О "радиус-векторе" - проблема не только в том, что сравнимы оказываются не все числа. Проблема в том, что предложенная тобой операция сравнения не согласована с уже известными операциями над числами. Скажем, возможна ситуация: a > c, b > d, но a+b < c+d - уверен, ты легко соответствующий пример нарисуешь.
Здесь нарушается первое требование к "естественному" порядку: сохранение знака неравенства при операциях сложения/вычитания.
Указанные проблемы можно решить. Реально всегда можно ввести какой-либо порядок, при котором любые числа окажутся сравнимыми. Например, любые вектора можем сравнивать покоординатно, полагая первые координаты "главнее" последующих. Но все такие попытки оказываются тем не менее неподходящими, т.к. они не дают возможности связать указанный порядок с имеющейся метрикой. У нас есть понимание того, что такое "расстояние" между комплексными числами. Соответственно, есть понимание того, что такое "окрестность" любого числа - т.е. множество чисел, близких к данному. Естественным порядком на множестве комплексных чисел был бы тот, который сохранял бы наше понимание "окрестности". Это - второе ограничение. Так вот, в указанном методе покоординатного сравнения можно представить себе две точки, одну из которых мы считаем больше второй, расстояние между ними при этом - огромное (миллиард сочтешь огромным?), но можно любое из этих чисел подвинуть на очень малое расстояние (одну миллиардную сгодится?) - и порядок изменится. Некрасиво. И это проблема не только этого конкретного порядка, но и любого. Доказано, что на множестве комплексных чисел "естественного" порядка не может быть. Почему? Смотри:
На множестве действительных чисел также можно вводить много разных способов сравнения. Например, можно сравнивать цифры десятичного представления чисел. При этом, например, 21 будет больше 1, но меньше 3. Тоже неестественно. А естественный порядок всего один (с точностью до знака - можно поменять местами употребление слов "больше" и "меньше"). Возвращаясь к комплексным числам, можно составить следующее умозаключение: если у нас есть "естественное" сравнение двух комплексных чисел, то оно должно оставаться естественным и в проекции на действительную ось, значит, для действительных чисел оно должно совпадать с известным нам порядком (с точностью до знака). Аналогично - с проекцией на мнимую ось. Если мы теперь постараемся согласовать это требование с требованием сохранения знака неравенства при операциях сложения/вычитания, то мы с необходимостью придем к указанному мной "покоординатному" сравнению. А оно неестественно, отсюда - теорема доказана. Это, конечно, набросок доказательства. Можешь восстановить все пропуски.
Ой, чего это я размахнулся
Все дальнейшие вопросы об этом - в приват, ладно?
