Множество (элементов) - неопределяемое понятие, которое поясняется только через синонимы - совокупность, набор элементов. В математике рассматривают множества каких-то математических объектов - чисел, точек какого-то пространства, функций, фигур. Как правило, отнесение объектов в определенное множество производится с помощью "характеристического свойства" - т.е. рассматриваются объекты, удовлетворяющие определенному условию (следовательно, обладающие определенным свойством).
Ответить на вопрос, какие свойства действительно определяют множества, а какие внутренне противоречивы (или попросту бессмысленны) - довольно сложно, особенно если изначальные объекты никак не фиксируются. В математических теориях такая ситуация запрещена - всегда есть набор базовых объектов, из которых формируются множества. Множества могут, в свою очередь, рассматриваться как элементы других множеств (дальше ищите в интернете "парадокс Рассела" и "теория типов").
Мощность множества - обобщение понятия натурального числа. Если у нас есть два множества, в каждом из которых по N элементов, то N - некая общая характеристика этих двух множеств. Можно выразиться и по-другому - эти два множества входят в некий класс "множеств мощности N" (такие классы не рассматриваются как множества, т.к. нет никаких возможностей обозреть "все множества из пяти элементов").
Мощность - абстрактная характеристика множества, которую невозможно определить ничем иным, кроме как сопоставлением данного множества с другим, мощность которого нам уже известна. В частности, процедура подсчета элементов в конечном множестве - это последовательное сопоставление нашего множества с эталоном: {}; {1}; {1, 2}; {1; 2; 3} и т.д. (реально эталон строится чуть сложнее).
На каждом шаге мы сопоставляем один элемент рассматриваемого множества с одним (следующим) числом из натурального ряда, и как только наши элементы кончаются, мы готовы объявить результаты подсчета.
Итак, два множества называются равномощными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.
Счетная мощность. В теории рассматриваются и бесконечные множества. Стандартным образцом служит натуральный ряд. Множество, равномощное натуральному ряду, называется счетным. Это название проистекает из того, что по определению у нас есть способ пересчитать все элементы этого множества - для каждого элемента множества теоретически возможно указать вполне определенный его номер (хотя всего элементов, как и в натуральном ряду, бесконечное число). Простые примеры счетных множеств: множество всех простых чисел, множество всех четных чисел, множество чисел - степенй двойки. Легко доказывается, что счетными являются также множество всех целых чисел и множество всех рациональных чисел, а также множество всех алгебраических чисел (определение последнего найдете в интернете).
Континуум. Если бесконечное множество не является счетным, то оно называется (сюрприз!) несчетным. Все несчетные мощности больше счетной, т.е. счетные множества - самые маленькие среди бесконечных. Первый пример несчетного множества - это множество всех действительных чисел (или множество бесконечных последовательностей цифр). Несчетность этого множества доказывается с помощью канторовского диагонального процесса. Мощность данного множества и называется мощностью континуума.
Доказано, что мощность континуум имеет не только прямая, но и любой интервал, любой отрезок, а также - любое конечное декартово произведение таких множеств (в частности, квадрат, куб, любые другие элементарные фигуры на плоскости и в пространстве).
Существуют множества мощностей и более высоких, чем континуум. Например, гиперконтинуум - множество, скажем, всех функций, принимающих значений 0 и 1 на отрезке [0, 1]. Вообще, по этому принципу для любой наперед заданной мощности можно указать мощность еще больше.
Тут еще есть такие термины, как трансфинитные числа и счетные ординалы... Идея там в том, что кроме "количества элементов" может быть еще важен их порядок. Скажем, бесконечное число элементов может так соотноситься с введенным на этом множестве порядком, что эти элементы можно будет считать до бесконечности не один, а несколько раз. Подробнее не буду - см.
http://bse.chemport.ru/transfinitnye_chisla.shtml или найдете в сети что-нибудь поинформативнее.
Множества промежуточной мощности. Попросту говоря, это множества, мощность которых больше счетной, но меньше континуума.
континуум-гипотеза Кантора гласит: множеств промежуточной мощности не существует.
