Да, именно в "пи" раз.
Про группы и зачем они нужны сказать особо нечего. Просто, когда у нас есть какое-то множество, да еще с операциями, всегда возникает вопрос "что оно такое и какие у него свойства?". И если мы докажем, что это множество - группа или полугруппа, то, во-первых, нас сразу поймут; во-вторых, мы бесплатно получаем много хороших теорем, а заодно, возможно, и описание. А дальше все зависит от наших целей. Были ли полезны группы в "кошельке без дырки", я не скажу. Аксиомы я тогда не записал, а вспоминать лень.
Про аксиому выбора.
Для начала два множества теорем.
- эквивалентные аксиоме выбора:
- - любое множество можно вполне упорядочить (расположить элементы так, что для любых двух можно сказать, какой из них раньше; у каждого есть следующий, но не обязательно у каждого есть предыдущий)
- - если множество A бесконечно, то множества A и A*A имеют равную мощность, т.е. между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие.
- - Если даны два множества, то либо их мощности равны, либо в одном из них можно выбрать подмножество, равномощное второму множеству.
- - Декартово произведение любого семейства непустых множеств непусто
- - Для любой сюръекции f (отображения A "на" B) существует правое обратное отображение (т.е. g: B->A, такое, что f(g(y))=y для любого y из B)
- - у любого векторного пространства есть базис.
- теоремы, для доказательства которых необходима аксиома выбора (но более слабые, чем эта аксиома):
- - объединение счетного числа счетных множеств счетно
- - любое бесконечное множество содержит подмножество, эквивалентное натуральному ряду
- - у любого поля (в алгебраическом смысле) существут алгебраическое замыкание.
И еще куча других теорем.
Достаточно, чтобы признать эту аксиому полезной, не правда ли?
Хотя некоторые следствия выглядят так:
- - На действительной прямой существуют неизмеримые по Лебегу множества (например, множество Витали)
- - парадоксы Хаусдорфа и Банаха-Тарского (о разбиении сферы и шара соответственно)
Про множество Витали и интегралы по Лебегу:
Мера Лебега является счетно-аддитивной. То есть, если мы возьмем счетное семейство непересекающихся множеств M_i, мера каждого из которых равна a_i, то мера их объединения M будет равна sum(a_i). На одном из шагов определения интеграла по Лебегу мы говорим, что если у нас есть фунция, равная 1 на множестве M и 0 за его пределами, то интеграл от нее равен мере множества M.
Но пусть M - множество Витали. Оно устроено так, что каждое число x можно однозначно представить в виде суммы q(x)+m(x), где q - рациональное число, а m принадлежит множеству M. Отсюда следует, что рассмотрев сдвиги этого множества на рациональные числа (обозначим результаты как M+q), мы получим счетное число непересекающихся множеств, объединение которых дает всю прямую. Если выбрать M так, что все его элементы лежат на отрезке [0,1], и сдвигать его на рациональные числа из отрезка [0,1], то объединение счетного числа конгруэнтных M множеств лежит на отрезке [0,2].
Если бы M было измеримым, то с одной стороны, его мера не могла бы равняться 0 (сумма счетного числа нулей - тот же нуль, а значит, мера всей прямой равнялась бы нулю), а с другой - мера не может быть и положительным числом a (сумма счетного числа одинаковых положительных чисел бесконечна, а объединение счетного числа множеств умещается в отрезок длины 2).
Отсюда делают вывод, что множество M неизмеримо, а значит, и интегарала по Лебегу от его характеристической функции не существует. А если чего-то не существует, значит, пользоваться им опасно.
Кажется, так.
