Тема: Физика и вера. Методы познания истины.

[Арвинд›]

1. «Парадокс лжеца»: «Высказывание, которое я сейчас произношу, ложно». Понятно, что его нельзя назвать ни истинным, ни ложным. Не буду анализировать, ограничусь тем, что этот парадокс волновал умы древних греков (нашел даже отражение в Библии - послание к Титу), но через какое-то время стал банальным примером некорректности. Две с половиной тысячи лет к нему относились спокойно, и только примерно в 1930 г. эта бомба взворвалась - о чем ниже.
2. «Парадокс скептика»: даю в порядке отступления, для математиков он не важен. «Парадоксальное» высказывание – это принцип «сомневайся во всем». Анализ его показывает, что он просто ложен (вследствие своего императивного характера, которое не выносит сомнения - т.е. из «сомневаюсь, что надо сомневаться во всем» следует «неверно, что надо сомневаться во всем»).
3. Парадокс Рассела. В обыденной форме: древенский парикмахер бреет тех и только тех мужчин, которые не бреются сами. Вопрос: бреет ли он себя? На языке теории множеств: рассмотрим R - свойство множества, заключающееся в том, что множество не является элементом самого себя. Можно представить себе множества, не удовлетворяющие этому свойству. Рассмотрим класс K(R) всех множеств, удовлетворяющих R. Вопрос – выполняется ли для K(R) свойство R?
4. Задача о самоприменимости: каждый алгоритм можно записать в виде набора инструкций для какой-либо вычислительной машины. Например (как это реализовано в компьютерах фон-неймановской архитектуры) можно записать алгоритм в виде последовательности нулей и единиц. Но и данные, с которыми он работает, тоже можно записать в виде нулей и единиц. Алгоритм называется применимым к данным, если он обрабатывает их за конечное время и выдает какой-то ответ (кто знает теорию алгоритмов - простите за упрощенное изложение). Для каждого алгоритма существует некая «область определения» – те данные, к которым он применим. Запись самого алгоритма – тоже, как говорилось, данные, так что он может быть или применим к себе (к своей записи), или нет. Вопрос: существует ли алгоритм, который для любого входного алгоритма определит, является ли тот самоприменимым? (hint: рассмотреть вопрос о том, будет ли такой алгоритм самоприменимым).
Надеюсь, теперь более-менее ясно, что я называю «самозамыканием». Это то общее, что лежит в основе всех приведенных парадоксов. Я вернусь к этому чуть позже, а сейчас - о формальных теориях и теоремах Гёделя о неполноте.

               

               

[Арвинд›]

Сама потребность в формализации математических рассуждений была осознана в конце 19 – начале 20 века. Этому способствовало все более ясное предчувствие появления вычислительных машин (они стали активно изучаться до воплощения «в железе»), и – явно неудовлетворительное положение теории множеств,  парадоксы которой после открытия Рассела стали активно исследоваться и, увы, размножаться. Остро встал вопрос о том, какие вообще рассуждения могут привести к противоречиям, а какие все-таки не приведут. Кроме того, стало очевидно, что привычные рассуждения о бесконечных множествах могут не срабатывать, при этом никаким эмпирическим путем, естественно, нельзя было установить, вправе ли мы переносит на бесконечность то, что мы знаем для конечных множеств, или нет. Д. Гильберт был идеологом пересмотра математики по следующему принципу: все рассуждения, которые мы считаем корректными, можно выписать в явном виде, как некие правила преобразования формул. Прибавим к этим правилам еще те формулы (определения и аксиомы), которые описывают какие-нибудь математические объекты – и мы получим формальную теорию вместо «наивной». Т.е. основное свойство формальной теории - что в ней явным образом указаны те преобразования символов, которые мы допускаем, при этом считается, что формула выводима в данной теории, если можно указать последовательность преобразований, примененных к исходным формулам, приводящая к данной.
Было построено две «хорошие» формальные системы - это исчисление высказываний и исчисление предикатов (более общее). Собственно, наша логика в них представлена вполне исчерпывающим образом (тот же Гёдель доказал полноту исчисления предикатов, но на этом не будем останавливаться). Любой математик согласен с тем, что логика как таковая вполне заменима формальной логикой. Поэтому вместо того, чтобы абстрактно рассуждать о числах, функциях и множествах, можно дать им формальные определения и жестко следовать предложенным «правилам игры».  Так были созданы формальная арифметика, формальный анализ и формальная теория множеств. Все они, конечно, включали формальную логику.
В чем прелесть, скажем, аксиоматической теории множеств Цермело-Френкля (ZF)? В том, что в ней формализуется вся содержательная часть математики - она как бы взяла из Канторовской теории все нужное, но умело отбросила парадоксы. При этом рассуждений о бесконечностях там нет: мощность множества – это просто один символ, приписываемый другому символу по явно данным правилам. Символа для пресловутого “множества всех множеств” не предусмотрено. Считается, что все рассуждения, принимаемые математиками как строгие, могут быть представлены на язые ZF. Таким образом, споры о корректности каких-то построений и об отсутствии противоречий можно свести к рассмотрению одной тщательно сформулированной теории.


               

               

[Арвинд›]

Задача-максимум Гильберта состояла в следующем: формализовать математику в виде теории, для которой будет доказана ее непротиворечивость и полнота. Полнота теории означает, что все истинные суждения в ней могут быть доказаны (есть довольно тонкие вопросы терминологии, различающие суждения «истинные», «верные» и «выводимые», но я не буду вдаваться в дебри).
Гильберт был одним из последних великих математиков, видящих всю современную им математику как единое целое (последним стал Колмогоров, а будут ли еще - посмотрим. Может, и нет – специализация - бич любой взрослой науки). Его вера в могущество разума очень характерна. Мне думается, многие гении до него считали так же. Скорее всего, Эйлер на вопрос: «можно ли на любой хорошо поставленный математический вопрос дать определенный ответ (в принципе, когда-нибудь)?» сказал бы четкое «да!».
Видимо, вера великих математиков черпала и тех же источников, из которых Raccoon взяла свои слова:
«почти всегда результаты математического исследования можно применить к реальности. Иногда математика слабовата (когда-нибудь разовьётся). Иногда мы просто не можем увидеть ВСЕ свойства объектов. Но это уже проблемы ограниченности человеческих способностей, а не проблемы метода исследования. »
«можно рассмотреть любое мировоззрение как систему:
… 2) аксиом (элементарных утверждений, их должно быть очень немного, чем меньше -- тем лучше); »
«у христианства есть более-менее выраженная аксиоматика (набор аксиом)? И если есть, то имеет ли она противоречия?»
К сожалению, предложение Гильберта включить логику (точнее, вообще все корректные способы рассуждений) в математику и изъять тем самым «человеческий фактор» не учитывало подспудно накапливающихся примеров «самозамыкания» – хотя, казалось, должно было от них и защитить.

               

               

[Арвинд›]

Здесь слегка уклонюсь в сторону - чтобы ответить на слова «когда-нибудь разовьется». Пример 4 - задача о самоприменимости - доказывает, что существуют алгоритмически неразрешимые задачи. Это само по себе весьма неприятно, и противоречит воззрениям многих математиков прошлого - те верили, что если надо что-то посчитать, то какой-нибудь метод для этого существует. Это, увы, не так. Есть более слабые, но важные для практики результаты: для многих практических задач доказано, что решить их можно только методом, близким к полному перебору всех вариантов. Есть такая нерешенная проблема P = NP . В это равенство никто не верит, но опровергнуть пока не могут. Но если принять это очень правдоподобное утверждение (что равенство неверно), то окажется что любую так называемую NP-полную задачу (это, как правила, задачи поиска объекта с каким-то свойством, такие задачи встречаются на практике у, например, экономистов) нельзя решить за приемлемое время - число шагов алгоритма экспоненциально растет с возрастанием длины исходных данных, и лучшего алгоритма предложить нельзя принципиально. И здесь никакое развитие вычислительной техники нас не спасет. Конец отступления.

               

               

[Арвинд›]

Итак - математики искали доказательства полноты и непротиворечивости своих теорий. При этом они хотели отделить корректные способы рассуждения от некорректных, сформулировав первые в виде четких принципов, которым  необходимо следовать. Этот естественный, очевидный шаг привел к тому, что способы рассуждений, которыми можно пользоваться в теории, были встроены в саму теорию. И здесь-то и наступает «самозамыкание».
Гёдель использовал идею того самого «парадокса лжеца» для доказательства своей теоремы. Он рассматривал формальную арифметику. Конечно, Гёдель предположил, что она непротиворечива - иначе в ней было б выводимо любое утверждение, в том числе заведомо ложные. Он обратил внимание, что есть формулы, которые что-то утверждают - скажем, о числах. Далее он занумеровал все формулы неким способом (формул всего счетное множество), поставив в соответствие формуле  ее «геделевский номер». После чего для формулы A(x) рассмотрел формулу A(n), где n - геделевский номер формулы A. Получается, что формула A(n) утверждает (может утверждать) нечто о ней самой! Далее, на основании таких конструкций им была сконструирована формула B, которую можно проинтерпретировать как утверждение “я невыводима”. После чего он тщательно доказал ее невыводимость. Некоторое обобщение полученного результата позволяет сформулировать теорему:
Для любой непротиворечивой достаточно содержательной (в том смысле, что в ней есть понятие хотя бы о натуральных числах) формальной теории можно указать утверждение, которое невозможно ни доказать, ни опровергнуть в рамках данной теории.
Можно даже выразиться сильнее: есть истинные суждения, которые нельзя доказать, и ложные, которые нельзя опровергнуть. Хотя такая формулировка специалиста не совсем удовлетворит...
Таким образом, любая из интересных математикам теорий (кроме исчисления высказываний и и. предикатов) неполна. В ней есть принципиально неразрешимые суждения. В свете этого требование рассматривать «минимальное число аксиом» неконструктивно: сколько б аксиом мы не рассмотрели, всегда найдется еще одна, независимая от рассмотренных.

               

               

[Арвинд›]

Вторая теорема доказывается довольно сложным анализом доказательства первой теоремы, я эту теорему только сформулирую:
В первой теореме в качестве абсолютно неразрешимого суждения можно взять утверждение о непротиворечивости теории. То есть непротиворечивость теории недоказуема методами этой теории
Как видим, доказательство непротиворечивости системы аксиом представляется делом невозможным. На самом деле это можно сделать, если «погрузить» рассматриваемую систему в какую-то более общую. Вследствие этого для математиков предметом веры остается непротиворечивость ZF - непротиворечеивость формальной арифметики и анализа можно отсюда вывести. Но ничего более общего, чем теория множеств, нам неизвестно.

               

               

[Арвинд›]

В настоящее время в математике известно довольно много неразрешимых задач, причем в разных смыслах этого слова. В частности, знаменитый пример неразрешимой задачи для ZF - континуум-гипотеза Кантора (первая проблема Гильберта). Она гласит, что не существует множеств мощности больше счетной, но меньше континуума. Казалось бы, логика ясно требует однозначного ответа на этот вопрос. Но правильный ответ был дан П.Коэном, и звучит он так: «хрен его знает».
Впрочем, он же в своей книге пишет, что невыводимость гипотезы делает его приверженцем вывода, что конитнуум-гипотеза яляется, очевидно, ложной. Но это не мешает математикам доказывать теоремы, ссылаясь на предположение о ее истинности.
Здесь мы приходим к тонкому моменту об относительности понятия «истинности». Я недостаточно компетентен, чтобы рассуждать о «релятивистской истинности», введенной Коэном. Я лучше обращу внимание на другой момент: в доказательстве теоремы Гёделя введена формула, которая говорит о собственной невыводимости. Далее показывается её невыводимость. Т.е. по сути дела мы ее умеем доказывать - но она же невыводима! Здесь фокус в том, что интерпретация формулы формальной теории не принадлежит, т.е. смысл высказывания понятен нам (он неформален), но не воображаемой машине, знающей только формальную теорию. Другой пример - пусть у нас есть неразрешимое высказывание в рамках формальной арифметики, например, в форме: свойство P неверно для всех натуральных чисел, начиная с N (некоторые предполагали, что теорема Ферма - как раз такое высказывание, но, к счастью, ошиблись). Если бы существовало число, для которого верно P, то оно опровергло бы эту гипотезу. Значит, она была бы разрешима. Поскольку она неразрешима, то она верна. Здесь никакого противоречия нет. Она неразрешима теми средствами, которые мы согласились считать подходящими. Если бы мы смогли как-то формализовать приведенное выше доказательство, т.е. сформулировать какие-то еще правила (или аксиомы), которые в этом рассуждении использовались, то эта гипотеза перестала бы быть неразрешимой. Но обязательно нашлась бы новая неразрешимая проблема.

               

               

[Арвинд›]

Итак, теоремы Гёделя говорят не столько о том, что всегда найдутся гипотезы, установить истинность или ложность которых принципиально нельзя, сколько о том, что никакие формализуемые методы рассуждений не могут дать нам полной картины - даже в математике, которая полностью является порождением нашего разума. Грубо говоря, они дают понять, что такие методы (аксиоматических теорий) неадекватны истине. Даже если человек уверен в правильности какого-то высказывания, он не сможет научить машину также четко распознать эту правильность. Формализм Гильберта как попытка оторвать математику от человеческого разума и сделать ее абсолютно объективной, не удался. Я мог бы поговорить о том, как конструктивизм и, в частности, интуиционизм пытались по-своему решить эти проблемы, но не стану (хотя я уже упоминал, что они отказались от закона исключенного третьего).
Для меня важнее вновь обратить внимание на то самое пресловутое «самозамыкание». Этому принципу можно дать некоторую примитивную аналогию в физике: «точка опоры». Мюнхгаузен не мог вытащить себя за волосы из болота, если не использовал никакой точки опоры. В каждом нашем рассуждении есть такая же точка опоры, и если мы начинаем «замыкать» рассуждение само на себя, то оно эту опору теряет. Для математика опора - его интуиция. И если мы хотим ее до конца исчерпать, то мы этой самой опоры лишимся.
Если все эти рассуждения привели вас к выводу, в котором я таким способом оказался убежден, то я буду считать свою задачу выполненной. А вывод такой:
Знаменитая задача древних «познай самого себя» решена не может быть принципиально. Все попытки разумного объяснения феномена сознания (и разума) обречены на неудачу, так как опираются на сам этот разум. Он - данность, которую мы должны вынести за скобки.

И маленькое добавление: если попытка говорить о чем-то объективном предполагает отказ от субъективности - как же не лишиться точки опоры в познании природы? Думается мне, слияние Объекта и Субъекта возможно только одним способом: в Боге. Но научные методы познания здесь, конечно, бессильны.

Теперь я рассказал все, что считал важным по «теме 2» и перехожу в режим диалога

               

               

[Арвинд›]

Простите, забыл.
Обычно рекомендуют следующие книги:
Клини «Введение в метаматематику».
Гильберт, Бернайс «Основания математики».
Френкель, Бар-Хиллел «Основания теории множеств».
Я сам разбирался в этом с помощью более специальной литературы, в частности, книги Коэна «Теория множеств и континуум-гипотеза». Но не советую без знакомства с предметом - на себе проверил, что это мазохизм.

Что касается других формальных теорий множеств, то после ZF чаще других упоминают систему Геделя-Бернайса. Она в некотором смысле равносильна ZF - доказана их равнонепротиворечивость. Вообще, как вы можете видеть, в математике можно доказать только относительную непротиворечивость. Здесь это и сделано: ZF непротиворечива -> GB непротиворечива, и наоборот. Ценность GB в том, что в ней конечное число аксиом, а в ZF - счетное. Короче говоря, это все именно разные системы аксиом, но не разные логики.

               

               

[Вацлав›]

2Читатель. Великолепно!!! Сложно, но великолепно! Я не то что бы религиозный человек... но верующий. Пришедший в православие через славянское, греческое, римское, кельтское и пр. короче-язычество, католицизм, буддизм, атеизм...
Знаете, эдакая точка зрения Франциска Ассизского: "Слава Господу за сестру нашу Землю, что родит и траву, и плоды, и пестрые цветочки!"
Да, я гуманитарий с математическим складом ума ( ей-богу, определение меня не мною придумано!). При моей любви к астрономии в свое время катастрофически сказывалась нехватка математических и физических знаний... Да и нынешняя профессия (редактор) обязывает знать все доступное... Иногда просто обалдеваю равно как от знания, так и незнания.

2Все. ИМХО, надо отсылать в "Савешник" и, судя по всему, из этой темы выделять подтемы. Например, "религия и наука", "несостоятельность теории эволюции", "проблема чуда", "религия и закономерность природы" и тьма еще всего.   Иначе слишком общо...

Понимаете, если я говорю: "Бог есть!", то правда на моей стороне, т.к. Бог везде, и во мне тоже. Но если вы говорите: "Бога нет!", то и вы тоже правы: в вас Бога нет.
Еще: никакая наука не сделала ничего нового. Она лишь открывает то, что было до нее.
И еще: вера и знание по отдельности - бессмысленны.
Вера без знаний приводит к слепому фанатизму, безумно далекому от истинной веры.
Знание без веры превращается в игру по одному-единственному правилу: "Ну-ка давайте посмотрим, до какой степени мы сумеем объяснить поведение  физической и материальной Вселенной (и - по пути -происхождение всего сущего) исключительно в терминах физической и материальной причинности, без сверхъестественного вмешательства".
Если фундаментальная наука сливается с верой в текст Библии (т.е. основывается на нем), получаются обалденные результаты.

               

               

[Вацлав›]

Подобная участь многих ученых - это не противостояние веры и науки! Это было противостояние великих ученых и их завистников, правящих научных кругов, которые перетянули церковников (неверующих!) на свою сторону.
Скажете, оправдываю христиан? Однако если я вечером выйду на Тверскую и увижу ряды и колонны вызывающе одетых женщин, я все равно не вправе утверждать, что ВСЕ женщины продажны!!

Наверняка 99% того, что многие знают об отношениях верующих христиан и Галилея, Коперника и пр., почерпнуто из книг в стиле "Библиотеки атеиста". Это ничего страшного, это норма.

Однако христианские историки, которые когда бы то ни было касались вопроса о форме Земли, говорили о ее шарообразности.
В Книге Пророка Исаии 40:20 говорится о "круге земли", на иврите - "khug" - шарообразность, округлость.
В пророчестве Иисуса Христа о Его втором пришествии из Евангелия от Луки 17:34-36 свидетельствует: Он знает, что Земля круглая. Он говорит, что у разных людей на Земле в одно и то же время будет ночь, утро и день.
Книга Екклесиаста 1:5 говорит: "Восходит солнце, и заходит солнце..." - и точкой отсчета является Земля. Земля вертится вокруг Солнца!

Ни Галилей, ни Коперник, ни Бруно, ни Кеплер, ни Ньютон - никто не опроверг учение Библии: да их, верующих, это просто в ужас бы привело!

Вот так...

               

               

[Feanor›]

Цитата:
Существа,

после некоторого размышления я решил разделить все мысли, которые вызвал у меня вопрос Raccoon, на 3 группы:

1. В вопросах взаимоотношения веры и науки не следует забывать самое главное: вера есть результат личного опыта. Поэтому пытаться извлечь ее из рассуждений, оторванных от опыта нельзя, равно как нельзя личный опыт подогнать под жесткие рамки научных экспериментов. В идеале этот опыт - как раз то, о чем говорит Феанор: "эльфы не верят, а знают". Эльф есть высшее выражение творческих способностей человека, так что и человек может к такому состоянию приблизиться. Но рассказать что-то об этом трудно - если выбирать примитивные обыденные примеры, получится просто смешно, а писать о внутренних личных ощущениях... это во всяком случае не ко мне. К тому же Raccoon просила в эту сторону разговор не уводить. Мораль: просто запомним выделенную полужирным фразу, обсуждать ее все равно бессмысленно.

2. Вопросы, касающиеся построения аксиоматических теорий, парадоксов, логичности, непротиворечивости и т.д. Знание современного уровня этой проблематики очень важно для каждого, кто занимается наукой или философскими вопросами теории познания (гносеологией). Математика далеко ушла от того "наивного" подхода, который остался у большинства людей, связанных с остальными науками, поэтому мне хотелось бы поделиться некоторыми результатами и своими наблюдениями. Собственно, первое сообщение Енота как раз и продемонстрировало этот "наивный" подход, а критики самого подхода так и не воспоследовало. Хотя в применении к "богословию" тут никаких особенных выводов не будет, смею надеяться, что эта тематика здесь присутствующим интересна (Amickko, пей пиво и не грузись. Я с самого начала выяснил у Raccoon ее образование, и перестал в этом треде рассчитывать на гуманитариев).

3. Собственно анализ мировоззрения, основанного на вере в Единого. Попытка разобраться в том, какие внутренние связи здесь есть - без попыток доказывать Его бытие. После результатов пункта 2 будет очевидно, что критерии логичности и непротиворечивости здесь не вполне уместны, просто человек со стороны сможет понять, как этические (например) представления верующего могут быть увязаны в систему и почему для материалистов это вряд ли возможно (если только не отбросить этику как таковую). Мне интересно этим заняться, хотя я не Спиноза, а даже он далеко не продвинулся. И все-таки, что смогу сформулировать, то напишу.


Итак, Господа, попробую я. Исходный вопрос был похерен практически в самом начале дискуссии после того как мы остановились на жирной фразе в пункте 1. Почему я захотел возродить эту беседу? Из-за того, что еще в самом начале в ней возник ряд вопросов гораздо более интересных, чем исходный. Дело в том, что заглохла она тогда, когда по второму пункту в его исходной постановке Читателем был дан практически исчерпывающий ответ, а точнее было показано, что человеческая логика замкнута сама на себе и работает только в пределах приложений, которые не соприкасаются с этим самозамыканием. При этом религия (практически любая), в силу сложившихся и культивируемых традиций, обходит эту проблему не допуская рассмотрения своей сути с точки зрения логики дабы никто не облажался.

Наша проблема здесь, однако, оказалась в том, что после прихода к ответу по второй теме, до перехода к третьей нам все еще оставалось и остается как пешком до луны. А именно, что сам по себе факт самозамыкания человеческой логики говорит лишь о том, что по-топорному третью тему обсудить нельзя, но особых методов к ее нетопорному рассмотрению он не дает.

Поэтому я предлагаю на данном этапе расширить вторую тему и, исходя из бякусов в "формальной" (не математической формальной) логике, рассмотреть немного глубже общие проблемы человеческого мышления как такового.
Место и время не позволяют мне высказаться первому в подробностях, поэтому я сейчас только обрисую круг вопросов на которых неплохо бы сконцентрироваться:
Связь человеческого мышления и хронологического, непрерывного течения времени (включая проблему отношения к так называемой "судьбе"). Необходимость причинно-следственных и логических связей (в математике, например, доказательств) для построения представлений и понятий. Представление об "объективной реальности" в людском мышлении (информационное восприятие), существование "абсолютной" информации (независимой от наблюдателя и от наличия наблюдателя вообще) и возможность установления такой информации. Плюс различные интерполяции этих трех вопросов, которые я прошу НЕ рассматривать как три отдельных вопроса, поскольку ответ, если он будет, на них будет один.

Также прошу модераторов скрепя сердце тереть все неотносящееся, поскольку иначе мы наплодим веток и через два дня удалимся нафиг.

Не торопитесь, господа :-)

               

               

[Вацлав›]

"Связь человеческого мышления и хронологического, непрерывного течения времени (включая проблему отношения к так называемой "судьбе"). Необходимость причинно-следственных и логических связей (в математике, например, доказательств) для построения представлений и понятий. Представление об "объективной реальности" в людском мышлении (информационное восприятие), существование "абсолютной" информации (независимой от наблюдателя и от наличия наблюдателя вообще) и возможность установления такой информации. Плюс различные интерполяции этих трех вопросов, которые я прошу НЕ рассматривать как три отдельных вопроса, поскольку ответ, если он будет, на них будет один."

Чертовски многогранно!! Опять мысль растечется по древу, и древо это по размерам как минимум Иггдрасиль!
Предложение: разделить тему на две части - сугубо философскую и с религиозным уклоном (не забывайте, все начиналось с "богословской темы"!) И задать там конкретные вопросы, практически не пересекающиеся между собой. И создать отдельные темы, а эту закрыть.