Тема: Физика и вера. Методы познания истины.

[Raccoon›]

   Ну вот, открыла эту тему.
    Дело в том, что меня очень давно интересует логическая основа христианства (или любого другого монотеистического учения).
    Начало этого разговора (с Читателем) лежит где-то "Свете против Тьмы", точнее, вот тут: http://www.tolkien.ru/cgi-bin/forum/YaBB.pl?board=against&action=display&num=1020250152&start=15
    То есть можно рассмотреть любое мировоззрение как систему:
    1) определений (тут, наверное, всё понятно. Определение должно быть лаконичным, максимально точным, логически необходимым)
    2) аксиом (элементарных утверждений, их должно быть очень немного, чем меньше -- тем лучше);
    3) теорем (все остальные утвеждения, они должны быть с доказательством и опорой на два предыдущих пункта).
    Вот, вроде, и всё. Такая схема наверняка знакома любому технарю. И нетехнарю тоже.
    Повторюсь: меня не интересует эмоциональная часть вопроса. К сожалению, видно природа моя такова, что я не умею верить слепо, со всей отдачей (ну разве что только в людей   ). Я предпочитаю знать. Мне всё нужно пощупать, или хотя бы логично обосновать. Но после такой мясорубки вряд ли вера останется верой, а не знанием.  
    Если у религии кроме чувственной стороны ничего нет, то она меня вовсе не интересует.
    Ещё хотелось бы попросить не менять тон беседы: фразы вроде "а чего вы вообще спорите? Мир, люди -- братья...", "ох, общался я вчера с вашим Богом! А амброзия-то у него задиристая!" или "Бог -- это свет души нашей!" не приветствуются. А вот тема может и поменятся: разговорам свойственно развиваться.
    2Читатель: сейчас я учусь на физфаке МГУ, буду физиком-теоретиком (надеюсь). Кроме того, вряд ли этот вопрос -- самокопательный. Всё равно в религиозных переживаниях я не разберусь. А логика -- она одна для всех и всегда даёт (если вообще что-нибудь даёт) совершенно чёткий результат. Так что беседа, думаю, будет исключительно внешнеполитическая.
    Ой, какой длинное вступление получилось!
    В общем, первый вопрос: у христианства есть более-менее выраженная аксиоматика (набор аксиом)? И если есть, то имеет ли она противоречия вроде: "Если Бог всемогущ, то может ли он создать такой камень, который потом не сможет поднять сам?"

               

               

[Feanor›]

Первое (чтобы не было вопросов), я не христианин. Назвать себя приверженцем иудаизма я тоже в полной мере вряд ли могу. Этот вопрос к делу отношения не имеет.
Второе. Насчет камня - это не противоречие.
Третье. Таня, ты не будешь физиком. Судя по тому, что ты тут высказала, ты математик. В чистом виде.
Я тебя огорчу. До конца 19 века Ньютоновская физика считалась правильной, логически проработанной и базирующейся на описанной тобой системе. А потом Эйнштейн все испортил и ввел другую аксиоматику. Но я не вижу никакой гарантии того, что нынешняя физика является окончательно верным вариантом. Более того, я не могу представить, что способно мне такую гарантию дать. В то же время мир устроен каким-то определенным образом, который не зависит от тех теорий и наук, которые мы создаем. Соответсятвенно, все верные утверждения являются просто аксиомами, поскольку существуют вне зависимости от того каким образом ты их вводишь или доказываешь.
А, к примеру, понять с точки зрения человеческой логики как можно находиться вне времени и видеть все события без традиционных хронологических причинно-следственных связей представить вообще невозможно.

Вот так.

               

               

[Ilnur›]

Вот полезная ссылка:

http://biblestudy.churches.net/CCEL/A/AQUINAS/SUMMA/INDEX.HTM - Святой Фома Аквинат, Summa Theologica (по-английски)

И еще. Если Бог может создать камень, поднять который Ему не по силам, но который Он все же сможет потом  поднять - это не противоречие, это всего лишь значит, что существующая математическая модель логики, основанная на теории множеств, несовершенна.




               

               

[Raccoon›]

 Спасибо, что ответили.
 Феанору: Насчёт физики. Да, нынешняя модель Вселенной не совершенна. Но это ещё не значит, что мы не можем её описать. Как верно было замечено, физика Ньютона сменилась Эйншейном, потом пришёл Паули со своей квантовой физикой (Эйнштейн так до конца жизни и не смог её принять). Просто одно приближение сменяется другим, более точным. Чем дальше, тем вернее модель. А с такими, асимптотически приближающимися к пределу, объектами человечество имеет дело уже давно. Так что я не считаю бедой недостижимость предела. Так даже интереснее.
  А насчёт времени и причинно-следственных связей... По-моему, никто не поиздевался над ними больше, чем теорфизика. И обратно его крутили, и мнимое время вводили, и комплексное, и тензорное. Так что временными извратами физика не удивишь.
  2 Ilnur: Спасибо за ссылку, но у меня очень плохие отношения с английским    Нет ли перевода? Кроме того, я знаю, что у Спинозы был труд на эту тему. Никто ссылки не знает?
  Насчёт камня: как это не противоречие? По-моему, форменное противоречие... И, думаю, проблема не в теории множеств, а в самой христианской аксиоматике.
 

               

               

[Raccoon›]

 Эээ И никто не ответил: есть ли сфомулированный набор аксиом, и если есть, то у кого?

               

               

[Мунин›]

Изложенная г. Енотом схема из определений, аксиом и теорем несколько не работает. Ибо обычно в жизни нет совсем четко определенных понятий, и нет четких формулировок аксиом и теорем. Схема та хорошо рабоает  науке. А в мировоззрении обычно есть система понятий и оценок, связанных рассуждениями. Понятие отличается от определения тем, что там вообще нет определения.

Вспомним Бродду, который искал определение толкинизма. Ведь все мы знаем, кто такие толкинисты, можем во многих случаях определить, толкинист человек, или нет - а вот определения не даем. Из-за того, что нам самим нужны эта размытость, наличие пограничных случаев - чтобы приспосабливаться к изменяющейся ситуации.

То же и с рассуждениями. Но самое главное в мировоззрении - оценки. Они бывают разные (например, этические, эстетические), но иногда (не всегда) они подкрепляются рассуждениями. Фишка в этом "не всегда". Пока нам это не надо, пока мы не задумались, пока это не стало для нас важным, оценки могут прозябать на окраинах нашего мышления совсем без внимания. И только тогда, когда мы обращаем на что-то особое внимание, мы пытаемся рассуждать, а почему мы это оцениваем так, а не иначе.

Так, собственно, зарождалась наука. Зенон, в частности, Демокрит всяческий.

Так к чему я тут разливаюсь. В религии нет аксиом и теорем. Там есть понятия и рассуждения. И рассуждения в богословии в основном проводятся на те темы, которые особо волнуют церковников - на темы этические и духовные. Соответственно, рассуждения редко доводятся до абсурда, и никто не доказывает непротиворечивости аксиоматики.

               

               

[Feanor›]

Энт, угу.

Енот, насчет физики ты меня немного не поняла: я говорил совсем не об асимптотическом приближении к истине. С чего ты взяла, что мы к ней приближаемся? Идея ведь заключалась в том (почему я привел Ньютоновскую физику и модель СТО/ОТО), что в реальном мире законы, постулируемые и открываемые в рамках какой-либо теории могут выполняться и идеально подтверждаться экспериментами. !!!ВНИМАНИЕ!!! Это никоим образом не говорит о правильности законов, только об их выполнении в узких рамках поставленных экспериментов. Гарантии же абсолютной правильности теории тебе никто дать не может.
Да чего там о высоком, вернемся к примитивной школьной математике: Как известно, кривая (y=sinx) может быть приближена вблизи начала координат прямой y=x. Никому, конечно, и в голову не придет рассматривать рассматривать прямую в качестве представления синусоидальной зависимости. А вот, к примеру, кривая (y=x-x³/6) является более точным приближением синуса и работает в гораздо большем диапазоне... что не делает ее, ни в коей мере, даже близко похожей на настоящий синус (если кому-то еще интересна эта дискуссия - нарисуйте график). Так вот почему пример с тремя функциями ни у кого не вызывает сомнений, но все по-прежнему уверенны, что Теория относительности, Квантовая Механика и иже с ними это почти что истина? Настоящие законы могут быть даже близко не похожи на то, что мы сейчас имеем.

Насчет времени: твой ответ о том, что физика не удивишь концепциями времени только верней подтверждает мои слова. То о чем ты говоришь к времени не имеет ни малейшего отношения - это математические понятия, которыми ты просто оперируешь не задумываясь над сутью. Точно также, как ты оперируешь многомерными пространствами, представить которые ни один человек не в состоянии.
А говорил я про надвременную позицию потому, что это следующая ступень после человека.

               

               

[Эрейнион Хэруэр›]

Да нет никакого противоречия с камнем. Правда, исключительно для христианина. Мерить религию законами логики, математики, пытаться найти последовательный ряд аксиом подчииненных земному закону(закону логики)-это нелепо. Если бы все в религии можно было объяснить логикой, это было бы самым верным доказательсвтом того, что религия - фигня, бога нет, и так далее.
Есть две сферы истины - сфера разума и сфера веры. Земные законы действуют только в первой. Оговорюсь еще раз, это - дляч верующего человека.

               

               

[Мунин›]

Цитата:

!!!ВНИМАНИЕ!!! Это никоим образом не говорит о правильности законов, только об их выполнении в узких рамках поставленных экспериментов. Гарантии же абсолютной правильности теории тебе никто дать не может.



Фишка даже немного более тонкая и философская. Любые законы, которые мы формулируем, выражены в некоторых наших, человеческих, понятиях и определениях. Но в природе никаких таких понятий нет и быть не может. То есть Любые законы, строго говоря, описывают не саму природу, а нашу ея интерпретацию. Образно, "если мерять тем, что мы зовем вольтметром, то он покажет то-то и то-то".


Цитата:
Точно также, как ты оперируешь многомерными пространствами, представить которые ни один человек не в состоянии.


Ну, не знаю, как человек, а у меня это вполне получается…

               

               

[Арвинд›]

Здрасьте. Ща на всех буду наезжать.   Кроме Энта, в его словах как-то не смог найти, к чему придраться...

Heruer: "Да нет никакого противоречия с камнем. Правда, исключительно для христианина. "

То есть христианам все можно? Мне почему-то представляется, что или противоречие есть, или его нет - для всех. На самом деле деле вера в этом парадоксе вообще никакой роли не играет.

Ilnur: "это не противоречие, это всего лишь значит, что существующая математическая модель логики, основанная на теории множеств, несовершенна."

Математическая логика не основана на теории множеств (скорее наоборот: формальная логика -> теория множеств -> остальная математика), и вообще здесь не при чем. Кажущееся противоречие здесь на уровне обыденной логики и обыденных ошибок в рассуждениях.

Feanor: "ты оперируешь многомерными пространствами, представить которые ни один человек не в состоянии."
Мне совсем нетрудно представить себе даже бесконечномерное пространство. Например, пространство функций, непрерывных на [0,1]. Что ж я теперь, не человек?

Последний пример особенно хорошо, мне кажется, показывает, к чему я клоню. Феанор говорит о пространстве в привычном смысле, о том пространстве, в котором мы воспринимаем тела и формы. Но есть и другие значения у этого слова, на которые ссылаюсь я. До тех пор, пока мы не выяснили, что под определенным словом понимается, будут вестить разговоры глухого со слепым, - как приведенный выше мой диалог с Феанором. И противоречия могут скрываться всего лишь в словах, а не в мировоззрении, религии, или какой-то неизвестной мне математической модели логики (шо це такэ?   ). Напомню вопрос, к которому тут не по делу прицепились:
"если Бог всемогущ, то может ли он создать такой камень, который потом не сможет поднять сам?"
Отвечу "да" - а как же всемогущество? Отвечу нет - то же возражение. То есть фактически мы цепляемся к самому слову "всемогущий". Под ним мы понимаем "может все". Что такое "все"? Вот, собственно, и весь вопрос. Нельзя рассуждать про "все" как про какую-то данность. Мы можем рассуждать только про то, что каким-то способом выделено для нас, обладает какой-то определенностью. А "все" - это попросту "множество всех множеств", а здесь, как я могу судить, собрались люди достаточно подкованные, чтобы не повторять, отчего в этих словах заключено противоречие.
Это даже не Рассел, это еще старикашка Кантор знал. Чрезмерные обобщения неправомерны, мы его сделали, получили чушь - и что это доказывает? Только то, что к словам надо относиться внимательней.

               

               

[Арвинд›]

Собственно, ценность аксиоматического метода для формулирования теории заключается как раз в том, что мы начинаем понимать, о чем же мы говорим. Фактически выделение из всего корпуса известных в данной теории объектов и фактов тех, которые будут определяться как ключевые, приниматься за характеристики "по определению" или за аксиомы, доказательство следствия из этих положений иных фактов - все это и есть то самое "самокопание", про которое я уже говорил Raccoon. То есть мы, обладая каким-то представлением о предмете, начинаем исследовать уже не предмет, а само это представление, чтобы лучше осознать его внутренние взаимосвязи, четче представить себе, что же это такое. Аксиоматизация нужна для того, чтобы лучше врубиться в уже известное или - как вариант - чтобы передать знание ученикам в более стройной и оттого запоминающейся форме. Механика не создавалась сразу как аксиоматическая теория, равно как и классический образец - геометрия. Мне вспомнились слова не-помню-какого-но-очень-умного-филолога: "решение математических задач не создает новых текстов". Он говорил этим, что мы не рождаем новое знание, но по условиям задачи вытаскиваем из головы готовое знание, чтобы применить его. Конечно, так можно сказать про какое-нибудь решение квадратных уравнений, бывают и решения, обладающие собственной ценностью благодаря новой методике. Галуа, например, доказывал, что нельзя получить решение произвольного уравнения пятой степени в радикалах, а на деле изобрел значительно более ценную теорию групп. Однако аксиоматизация - это действительно не создание нового текста, это преобразование имеющегося. Ты, Raccoon, пишешь: "Я предпочитаю знать. Мне всё нужно пощупать, или хотя бы логично обосновать. "
Тебе ли повторять, что в науке именуется "знанием"? Знание есть соответствие теории опыту. Отчего же ты так настаиваешь на изложении религиозных истин в виде, исключающем какой бы то ни было опыт - в виде формальной теории. Да, из определенных аксиом будут следовать какие-то теоремы. Что с того, если речь зайдет про реальность, а не теорию?

               

               

[Арвинд›]

Для верующего человека знание о Боге есть результат его личного опыта, и он может вообще не задуматься о каких-то аксиомах. Ты, прости за нескромный вопрос, представляешь ощущения влюбленного? Подвали к такому с рассуждениями "а докажи, что твоя любимая не плод твоей же собственной фантазии". Он просто отмахнется, и может случайно при этом оставить синяк под твоим глазом. Опыт религиозный - это не обязательно мистические ощущения. Два примера из собственной практики. В студенческие еще годы, в сессию, перед особо страшным экзаменом, когда пора было начать готовиться, мой одногруппник заметил: все такие заученные, один ты улыбаешься. Думаешь, тебе Бог поможет? На что я (не знаю сам, отчего) ответил: не думаю, а знаю. Могу даже и не готовиться. После такого негласного пари я пришел на экзамен, зная два с половиной билета из трех десятков. А экзамен действительно считался у нас самым сложным в ту сессию. Я попался к преподу, славящемуся своей злобностью, и ни на один его дополнительный вопрос не ответил. Он мне поставил пятерку, до сих пор не понимаю, за что. Второй пример - бывали в моей жизни диалоги вроде такого: "тучи, дождь собирается, обидно..." Я отвечаю: "не хочешь дождя? не будет!". Через пятнадцать минут светит солнце. Все это я не к тому, что бывают чудеса, и что я их даже якобы делал. Нет - бывает знание. Бывает состояние, в котором тебе не нужны никакие доказательства и рассуждения. В этом состоянии, если тебе придет в голову, что ты сдашь экзамен без подготовки - то ты его сдашь, потому что тебе в голову может взбрендить только то, что сбудется. Ты с истиной на одной волне, ты живешь в унисон с реальностью. Поэтому ты не веришь, а знаешь.
Этого рассуждения никогда дать не смогут.

               

               

[Арвинд›]

Логика еще больше математики подходит под знаменитое высказывание (Пуанкаре?), которое очень любил мой научный: "Математика подобна мельнице. Что в нее положишь, то она и перемалывает".
Если ты не забыла, что я писал в другом разделе на тему Бога и математики, то вспомнишь, что доказывать Его существование я и не пытался. Я говорил о том, что выделение в какой-то теории аксиом есть процесс анализа собственных представлений, и тренировка в этом методе может помочь тому, кто обладает какими-то убеждениями, искать ту основу, которая сделает его убеждения стройными и обоснованными. Я говорил, что большинство людей, к сожалению, лишены этой дисциплины мышления, и не могут понять, что все их разрозненные, единичные верования могут стать системой, только если в основу кладется вера в Единого. Логика не дает один для всех совершенно четкий результат - по той простой причине, что она вообще ничего нового никогда не дает. Тот, кто веры лишен, рассуждениями ее не достигнет. Но логика может здорово помочь тому, кто верит неосознанно, сам не отдавая себе в этом отчет. Доказательства бытия Божьего для тех, кто Его существования боится, убедительными никогда не будут. Если ты ожидаешь изложения христианского учения в форме очевидных определений и аксиом, из которых методом строгой дедукции выводится существование Бога, - этого ты никогда не получишь. Но если ты начнешь анализировать то, во что ты веришь - ты увидишь, насколько проще будет все связать, начав с аксиомы о Его существовании. Это не доказательство, но это, думаю, отвечает твоей эстетической тяге к строгости мышления. Не стоит делать из Веры набор аксиом и теорем - это ей ненужно. Но попытайся сделать это из собственного мировоззрения - и ты вполне можешь прийти к вере.
Твоя тема дает повод еще для многих интересных мне рассуждений, так что to be continued
Я только начал, а тут уже домой пора... Простите...

               

               

[Feanor›]

Не удержался.
Давайте честно: я не стал читать трактат Читателя. Объясню почему: он в самом начале заявил, что его целью является не спор, а придирки к словам. Дальше я читать не стал, потому что спорить с таким подходом бесполезно. Проще постучать лбом об стенку.
Если меня уважаемый Читатель убедит, что я был неправ в оценке его отношения к данной дискуссии, то я буду отвечать также и на его высказывания. А пока звыняйте.
Чего и Вам желаю.

               

               

[Арвинд›]

Феанор, ты неправ  

Просто не всегда удаеся достаточно хорошо выразить иронию, чтобы те, кто мой текст читает, поняли, где же я шучу. Попытки поддеть собеседника могут быть не самоцелью, а средством расстановки акцентов.
Я начал с того, что буду придираться к словам, но моей настоящей целью было показать, что неуместное использование слов, которые так свободно использовать нельзя, приводит к мнимым противоречиям.
Твои, Феанор, слова как раз и послужили иллюстрацией: если понимать пространство одним способом, то ты прав, если другим - то я. По сути как раз с тобой мне не о чем пока спорить, - это был только пример. А вывода два: во-первых, парадокс о Боге и камне не связан с Творцом, а основан на неправомерном использовании слова "все" (что в математике давно уже табу); во-вторых, ценность изложенного Raccoon подхода (при всех его ограничениях) - как раз в том, что мы договариваемся иметь в виду под одними словами одни и те же вещи, так чтобы не демонстрировать ту глупость, которую я сознательно начал демонстрировать в начале своего текста.

               

               

[Мунин›]

А ну вас всех.

Бог не всемогущ. Бог всемогущ в нашем мире. See the difference? Кроме того, из того, что Бог всемогущ в некоторой области, вовсе не значит, что он будет там все делать. Примеры: Бог дозволил грехопадение людей; Бог позволил действия Сатаны; Бог позволил распять Сына Своего.

By the way, я не христианин, поэтому надеюсь, что своими формулировками не задену ничьих религиозных чувств, а если такое и произойдет, то непреднамеренно. Также надеюсь, что не перевираю христианское учение. End of by the way.

В результате, Бог может (но не факт, что станет) создать в нашем мире любой камень, который в нашем мире возможен. И может в нашем мире поднять любой камень, который в нашем мире возможен. А вне нашего мира вообще неосмыслены понятия "камень" и "поднять", и дискуссия о них, так как вообще все наши знания и понятия ограничены нашим миром.

               

               

[Ilnur›]

2Chitatel: Я имел в виду следующее: мы полагаем, что традиционная (Канторова) теория множеств пригодна для описания множества верных утверждений. На этом строится логика. Конечно, я не говорю, что теория множеств и логика появились именно в таком порядке - разумеется, наоборот. Но они базируются на одних и тех же аксиоматически утвержденных обобщениях человеческого опыта. Закон отрицания отрицания (он же C(CX) = X) столь же очевиден, как, например, то, что тело движущееся с ускорением 1 м/c^2 будет ежесекундно увеличивать скорость на 1 м/с.

Далее - универсум не существует опять таки в Канторовой теории множеств. Причем доказательство этого факта - весьма изящное - из области своеобразных "математических фокусов", и, насколько я понимаю (я не ахти какой специалист), при другом построении теории универсум вполне может существовать. По сути, насколько я в это вникал, в Канторовой теории там недопустим один предельный переход, а они вообще "модельно зависимы" (ох, мамочки, как я криво говорю   ).

               

               

[Feanor›]

Читатель, принято. Спорить и вправду особо не о чем, только изложил ты это слишком запутанно. Видишь, никто так ничего и не понял

Всем:
Вот именно об этом я и говорю: применение научного подхода в данном случае бессмысленно. Это только что было очень эффектно продемонстрированно Илнуром. Если мы создадим две теории об одном и том же, которые будут в чем-то друг другу противоречить, то истинное (реальное) положение вещей в этом мире не изменится. Так? Устройство мира не зависит от тех теорий, которые мы создаем. Я могу сказать, что вот пусть 2*2=5 и это будет аксиома и построю новую математику (я буду далеко не первым - это до меня уже сто раз сделали ). При этом, заметьте, я не могу утверждать, что наша математика (2*2=4) верная. Более того, я не уверен в принципиальной возможности применения к какой-либо модели математики термина верная, поскольку ее связь с реальным миром очень слабая От того, как и в какой системе или с точки зрения какого множества я что-либо сосчитаю это что-либо на самом деле останется тем же самым.

Поэтому применять научный подход бессмысленно. Наука дает нам ответ на вопрос "как это происходит?", причем не всегда верный, как я уже показал выше и в моем предыдущем сообщении. Вера (не хочу произносить слова религия) пытается дать нам ответ на вопрос почему. Только у нас нет никаких доказательств - поэтому все воспринимается на Веру.

И здесь мне очень нравится позиция толкиновских эльфов: они не верили, они знали.
А нам остается только ломать наши головы и копья.

               

               

[Арвинд›]

Существа,

после некоторого размышления я решил разделить все мысли, которые вызвал у меня вопрос Raccoon, на 3 группы:

1. В вопросах взаимоотношения веры и науки не следует забывать самое главное: вера есть результат личного опыта. Поэтому пытаться извлечь ее из рассуждений, оторванных от опыта нельзя, равно как нельзя личный опыт подогнать под жесткие рамки научных экспериментов. В идеале этот опыт - как раз то, о чем говорит Феанор: "эльфы не верят, а знают". Эльф есть высшее выражение творческих способностей человека, так что и человек может к такому состоянию приблизиться. Но рассказать что-то об этом трудно - если выбирать примитивные обыденные примеры, получится просто смешно, а писать о внутренних личных ощущениях... это во всяком случае не ко мне. К тому же Raccoon просила в эту сторону разговор не уводить. Мораль: просто запомним выделенную полужирным фразу, обсуждать ее все равно бессмысленно.

2. Вопросы, касающиеся построения аксиоматических теорий, парадоксов, логичности, непротиворечивости и т.д. Знание современного уровня этой проблематики очень важно для каждого, кто занимается наукой или философскими вопросами теории познания (гносеологией). Математика далеко ушла от того "наивного" подхода, который остался у большинства людей, связанных с остальными науками, поэтому мне хотелось бы поделиться некоторыми результатами и своими наблюдениями. Собственно, первое сообщение Енота как раз и продемонстрировало этот "наивный" подход, а критики самого подхода так и не воспоследовало. Хотя в применении к "богословию" тут никаких особенных выводов не будет, смею надеяться, что эта тематика здесь присутствующим интересна (Amickko, пей пиво и не грузись. Я с самого начала выяснил у Raccoon ее образование, и перестал в этом треде рассчитывать на гуманитариев).

3. Собственно анализ мировоззрения, основанного на вере в Единого. Попытка разобраться в том, какие внутренние связи здесь есть - без попыток доказывать Его бытие. После результатов пункта 2 будет очевидно, что критерии логичности и непротиворечивости здесь не вполне уместны, просто человек со стороны сможет понять, как этические (например) представления верующего могут быть увязаны в систему и почему для материалистов это вряд ли возможно (если только не отбросить этику как таковую). Мне интересно этим заняться, хотя я не Спиноза, а даже он далеко не продвинулся. И все-таки, что смогу сформулировать, то напишу.

               

               

[Арвинд›]

Итак, начиная реализовывать свою программу, напишу небольшое "введение" в тему 2 (тему 1 я, повторюсь, больше не трогаю).
Лучше всего для начала перечитать, что написал про "Бога и камень" Энт Мунин. Он, по своему обыкновению, совершенно прав. Но можно проанализировать этот вопрос с несколько более общей точки зрения, тогда его рассуждение окажется частным случаем. Упомянув про "множество всех множеств", я надеялся автоматически достичь нужных ассоциаций - не получилось, извините. Потому подробнее. Множество - базовое неопределяемое понятие, совокупность каких-то элементов. Мощность множества - аналог натурального числа, т.е. для конечного множества - просто количество элементов в нем. Для бесконечного повторять определение не буду, просто скажу, что мощности можно сравнивать, т.е. даже для бесконечных множеств можно говорить, какие из них больше, а какие - меньше (так, континуум больше счетного). Имеет место быть очень простая теорема Кантора - если есть множество мощности M, то можно на его базе рассмотреть иное множество, "более мощное" (его мощность обозначается 2^M). То есть максимальной мощности не существует - всегда можно указать большую (как для любого натурального числа можно указать следующее за ним). Но множество всех множеств обязано иметь максимальную мощность (легко доказывается), поэтому вывод: такого множества просто не существует.
Этот вывод показывает, что со множествами нельзя оперировать просто так, есть опасность нарваться на то, что с виду воспринимается как множество, а по сути представляет собой бессмысленный набор слов. Реально для математиков оказался важен не столько этот результат Кантора, сколько более поздний парадокс Рассела (о нем расскажу в свое время). Факт тот, что после всех баталий было принято соглашение, по которому множества не строятся произвольно. Мы не можем судить обо всем да рядить о чем попало, должны быть определенные ограничения. Эти ограничения естественным образом выглядят так: в любой содержательной математической теории постулируется существование некоего "универсума", т.е. эдакого склада элементов, с которыми мы оперируем. При этом все рассматриваемые в этой теории множества суть подмножества универсума. Только тогда мы можем надеяться избежать парадоксов, иначе непреодолимых. Если мы вернемся к вопросу о всемогуществе Бога, то можно сказать, что слово "все" некорректно, его надо ограничить универсумом, в котором "живем". Например, как блестяще продемонстрировал Энт - заменить "может все" на "может все в этом мире".

               

               

[Арвинд›]

Отчего ж я после вполне исчерпывающего объяснения Энта настаиваю на каких-то обобщениях? Мне хотелось бы, чтобы все, кому это интересно, поняли общую схему, вписали парадокс, сам по себе лишенный ценности, в череду парадоксов, сотрясающих нашу науку.
Ведь только математика попыталась провести исчерпывающий анализ арсенала средств, которыми пользуется наш разум, - чтобы отделить логичное от нелогичного и доказательное от бездоказательного. Результаты этого анализа оказались весьма неожиданными. Повторюсь: я уверен, что знание этих результатов очень важно для каждого, кто занимается наукой, ведь большинство людей имеет некий набор гносеологических убеждений, обыденную интуицию в области логики. Точно так же, как у большинства людей есть определенный "здравый смысл" в области физически возможного и невозможного. Но мы знаем, что этот "здравый смысл" для физиков перестал работать. При этом сходные результаты в математике не дошли до большинства думающих людей. Математика в начале XX века пережила драму, похожую на потрясения в физике. В математике также появились своего рода "принципы неопределенности" и "релятивистские эффекты". Но мировоззренческая важность этого переворота оказалась недооценена. Не знаю, честно говоря, чему учат на философском факультете, но если они не знают теорем Гёделя о неполноте - они не знают, что такое мышление. Эйнштейн, Планк, многие другие физики всемирно известны, хотя теория относительности и квантовая механика для не-физиков вряд ли могут значить то, что результаты Гёделя должны значить для не-математиков. Возможно, в этой недооценке виноваты сами математики - вопросы оснований математики отделены от остальных областей нашей науки, так что математик-прикладник может отнестись к метаматематике довольно индиффирентно. Тот же Гёдель, конечно, не есть фигура первой величины, он не занимался большинством областей современной ему математики. Да, есть титаны, определившие лицо науки - Эйлер, Гаусс, Колмогоров, к ним можно добавить Лейбница, Гильберта, кого-то еще. Но если выходить за рамки нашей науки, то из всех ее областей именно вопросы оснований математики (или метаматематики) имеют действительно философскую ценность.
Для примера могу взять то, что написал Ilnur. Или он лукавит, утверждая, что он "не ахти какой специалист" (хотя "универсум" не значит "множество всех множеств" - см. мои объяснения), или просто у него хороший нюх. Он сослался на "очевидный" закон отрицания отрицания (он же - закон исключенного третьего). Один из тех законов логики, которым мы пользуемся на каждом шагу...
В метаматематике есть разные направления. Самое "хорошее" с точки зрения здравого смысла - формализм. Он от удара Гёделя, насколько я могу судить, толком не оклемался, хотя вообще очень ценная штука. Что касается остальных, то их основное отличие - отказ от закона исключенного третьего. Пуанкаре и Брауэр первые поняли, что этот краеугольный камень классической логики - с трещинкой, надо б заменить (кстати, интересно, что Пуанкаре и теорию относительности до Эйнштейна предложил)...
Пожалуй, здесь будет уместно "введение" закончить. Если есть смысл продолжить здесь эту тему, то я (когда будет время) хотел бы указать в хронологическом порядке те парадоксы, которые мне представляются действительно важными, с разбором того, как они работают. Мне видится в них всех единый принцип, который я за неимением лучшего слова обозвал "самозамыкание". Этот принцип можно усмотреть и в парадоксе о Боге и камне. Понимание этого принципа меня лично привело к результатам, никак с логикой не связанным - о принципиальных ограничениях на путях познания. Но обо всем этом - в другой раз.
Надеюсь, пока я все достаточно понятно излагал?

               

               

[Ilnur›]

Chitatel, прежде всего приношу извинения за погрешность в терминологии, просто задача "о большом-большом, но, к сожалению, не существующем множестве" в нашей компании формулировалась именно для универсума, и я привычно соскочил на этот термин.

Далее: я знаю теорему Кантора.   Ее я и называл "математическим фокусом". Да, можно показать, что множество всех подмножеств множества А имеет мощность большую, нежели само А. Именно поэтому в Канторовой теории универсум (множество всего, или, если угодно, всего, с чем мы имеем дело) не существует, точнее - он не множество, т.к. иначе он содержал бы явным образом множество всех своих подмножеств. Если мы над произвольной группой базовых элементов построим "множество всех множеств", оно на деле не будет в этой теории множеством по той же самой причине. Но кто сказал, что эта модель полна?

Попробую точнее объяснить то, что я имел в виду, на примере: вот у нас введено множество натуральных чисел, по всем правилам, аксиомы Пеано, переход к следующему, строгое отношение порядка... И тогда имеет у нас место следующая истина: какое число N мы не возьмем, всегда найдется N + 1 > N. А теперь аксиоматически расширим  множество, введем еще один элемент - бесконечность - и ситуация изменится, ибо бесконечность + 1 = бесконечность.

Как я уже говорил, до "всемножества" можно попытаться добираться через предельный переход, то есть так: Базовые элементы (БЭ) > БЭ и множества БЭ > и так далее, наращивая уровень вложенности. И тут, в силу той самой теоремы, окажется, что предельный переход недопустим. Но ведь точно также недопустим был бы самый базовый переход к бесконечности - устремление к ней по натуральным числам - если бы мы не ввели эту самую бесконечность "отдельным указом".  От бесконечности нельзя ждать, что она придет в теорию сама - ее надо вводить отдельно. И это не значит, что она искусственна - ведь и скорости света нельзя достичь, последовательно разгоняясь, ее нужно особо оговорить - и все же есть частицы, имеющие такую скорость.

Ну вот, опять сам едва понял, что сказал...



               

               

[Арвинд›]

Ilnur, мы тут всех окончательно распугаем Прошу всех кроме Ilnur'а воспринимать нижеследующий текст как оф-топик, который можно проигнорировать.

По поводу терминологии - погрешность небольшая, охотно верю, что где-то говорят и так.
Что касается теоремы Кантора и всей его теории, то их нельзя изменить и от антиномий невозможно избавиться, если считать множества тем самым объектом нашей интуиции, к которым мы привыкли. Очень важный момент во всей схеме - то, что мы мыслим множество как единый объект, являющийся совокупностью какого-то, возможно, бесконечного числа элементов. Мы пытаемся вводить обобщения какими-то известными нам из опыта путями, и все эти пути свидетельствуют, что конца обобщениям не будет. В этом смысле действительно имеет смысл говорить о близости логики и теории множеств: обычная, классическая логика не знает ограничений и вынуждает нас идти путем Кантора, приходя в итоге к нонсенсу. Пока мы думаем о множестве, исходя из обычной математической интуиции, своего рода здравого смысла, пока мы строим содержательную теорию множеств, мы не избегнем антиномий. Фактически содержательная теория множеств - то же самое, что канторовская (и она же, кстати, наивная). Наука не делает между ними различия, поскольку у Кантора действительно с логикой все в порядке, и его обобщения в определенном смысле максимальны.
Если говорить о модификации теории множеств, в которой противоречий не будет, то в ней прежде всего нужно отказаться от понятия множества как произвольной совокупности любых элементов. Такое понятие оказывается слишком обширным, чтобы можно было верить в применимость законов логики. Альтернативой наивной теории множеств будет не какое-то расширение (как добавление к натуральным числам бесконечности), а отказ от рассмотрения множеств как таковых. Вместо этого формальные (они же аксиоматические) теории множеств рассматривают объекты, удовлетворяющие определенным аксиомам. Их можно интерпретировать как множества, но однозначной интерпретации у них нет (это доказывается). С помощью набора аксиом мы накладываем ограничения на рассматриваемые понятия. В зависимости от наложенных ограничений можно достигать или нет каких-то результатов. Основное отличие формальных теорий от содержательной - последняя единствена, а первых - сколько придумаем. Поэтому те ограничения, которые выявляются в содержательной теории, имеют всеобъемлющий характер. Они показывают, что есть определенные сложности именно в нашем привычном способе мышления (и дает некоторые неформальные рецепты, как избегать этих сложностей - именно такие рецепты решают парадокс о Боге и камне, как раз в силу своей универсальной применимости к нашему мышлению). В формальных теориях несколько иная ситуация, они имеют дело с тем, что определяют сами, и используют только те средства, которые сами себе позволили. В частности, можно запретить средства, приводящие к парадоксам. В итоге: в общепринятой аксиоматической теории множеств Цермело-Френкеля речи о множестве всех множеств не идет, поскольку там даже сформулировать такую конструкцию невозможно. Есть еще три (о которых я что-то слышал) формальные теории множеств, в одной из них ("New Foundations") такое понятие возможно. Но в ней теорема Кантора приобретает весьма специфическую форму, из-за чего в какой-то момент перестает работать.
Если все это подтверждает твои же слова - пусть так. Не люблю спорить ради спора, но люблю выяснять вопросы досконально.

               

               

[Ilnur›]

Да, увлеклись  

Говорю простыми словами то, ради чего я тут клавиатуру ломаю:

1. Нельзя применять ко всему подряд, хоть бы к тому же вопросу о Камне, законы здравого смысла, поскольку

2. Наш здравый смысл - лишь обобщение человеческого опыта, ограниченного в пространстве и времени, а потому

3. Мир на самом деле скорее всего подчиняется неизмеримо более сложным законам, чем может вместить человеческий разум, и все открытые человеком законы, даже законы логики, вероятно являются лишь незначительными частными случаями истинных законов, и верны лишь при значительных ограничениях, которые в рамках нашего опыта (в силу уже упоминавшейся его пространственно-временной ограниченности) всегда (или почти всегда) выполняются.

Вот, теперь даже сам понял  

P.S. Если я узнаю, что законы логики подчиняются самой невероятной и искуственной теории множеств, я поражусь ничуть не больше, чем когда узнал, что пространство Вселенной, по всей видимости, подчиняется неэвклидовой геометрии.

P.P.S. У меня еще много мыслей  , просто как бы и вправду не съехать в софистику.

               

               

[Мунин›]

Был большой соблазн перестать читать после "Он, по своему обыкновению, совершенно прав."

Но продолжил. Читатель, я страшно хочу узнать побольше обо всех четырех формальных теориях множеств. Либо кинь мне литературу, либо скажи ссылки, где об этом можно почитать.

               

               

[Raccoon›]

   Так. Начнём по-порядку.
   Читателю:
   1. Про знание. Я могу сказать, что некая информация -- это знание, а не результат спиритического сеанса, если существует такой логически обоснованный эксперимент, который может неоднократно её (информацию) подтвердить. Конечно, есть такая информация, которую нельзя подтвердить экспериментом (например: кто стащил вчера мой кошелёк?). Но сейчас мы говорим о вещах достаточно общих и глобальных. Например, существование любимой мой друг может мне доказать, продемонстрировав мне эту самую любимую, дав подёргать её за рукав и разрешив с ней поговорить.

   2. Про то, что наша (канторова) логика -- "примитивна". В принципе, формальная логика -- лишь частный случай канторовой. И ключевой момент здесь такой: в общем случае какие-то моменты частного случая могут не выполняться. Это нормально. Но если в частной модели не выполняется какой-нибудь закон общего, то что-то тут не так с нашим частным примером. Поэтому, если в примере появляются противоречия относительно общего закона, то это в нашем частном случае неполадки, и это совсем не повод объявлять общие законы недействительными. По-моему так.
    Если я что-то недопоняла, скажите. Вообще трудно отвечать на громоздкие сообщения (это не упрёк Читателю). Каждое предолжение по отдельности понятно, нить рассуждений тоже. А вот общая идея, которую хотел донести автор, улавливаю с трудом    Читатель, ты бы хоть краткое содержание писал  

   3. Про, собственно, мой вопрос. Я всего лишь прошу показать мне (если можно) такую веру (напрашиваются кавычки), в которой существование Бога -- не аксиома, а теорема. С доказательством. Потом я хочу посмотреть на элементарные определения, взятые для этого за основу, и подумаю, удовлетворяют ли они меня. Если нет, обосную, почему. Конечно, очень интересно узнать про изъяны классической логики, но вопрос был не о том. Кстати, это беседа -- гораздо более интересный ответ, чем: "Нет, такой аксиоматики нет. Точка. Разговариваешь с каменной стеной." А про различные школы формальной логики -- это действительно интересно. Можно мне тоже ссылочку?

   4. Ильнуру про "высшую" логику. Пока что наша логика вполне успешно приближала окружающий мир. По крайней мере, гораздо лучше, чем христианство. Она давала эксперементальные результаты. Почему бы её не принять за рабочую версию, а не гипотетического Бога? Мой увечный здравый смысл подсказывает, что так естественнее. Кроме того, ты привёл не очень-то хороший пример про физику: как бы не менялась физика, какие бы удары не принимал на себя исстрадавшийся здравый смысл, математика, описывавшая все эти физики, в принципе, оставалась неизменной, либо новая ступень математики оказывалась логичным продолжением старой. Пример просто неубедительный.

   5. Феанору про разные цели науки и религии. Вообще-то ты прав. Перед этими двумя продуктами мысли ставились разные цели.
   Но не всех удовлетворяет христианский ответ на вопрос "почему": "Потому что так было угодно Богу." Вот я сейчас встану и скажу: "Всё так, а не иначе, потому что мне так хотелось." На мой взгляд, такой вариант -- ничем не хуже. Только вот вряд ли кто-нибудь в это поверит. Даже я сама. В общем, здесь не ответы на вопросы "почему" важны, а что-то ещё. Так почему столько тысячелетий люди верят в Бога, а не в меня, не в Тутанхомона, или его жену? Должно же этому быть какое-то разумное объяснение? Вот это разумное объяснение, доступное неизощрённому простому человеку, я и ищу. И, желательно, закодированное в доступном мне языке -- языке теорем.
   Извиняюсь за крик души.
 
   6. Людям, сведущим в математике. Где-то я слышала, что есть такая теорема: любое событие можно представить в виде положительных и отрицательных ответов на вопросы. То есть в виде нулей и единиц. А всё это уже означает буллеву алгебру, где отношением порядка являются причинно-следственные связи. В книге по буллевой алгебре есть теоремка: у буллевой алгебры есть максимальный элемент (Бог, причина ВСЕГО), и минимальный (конец света, следствие всего). Если события образуют буллеву алгебру, то, считайте, Бога (или Большой Взрыв) вы мне доказали.

               

               

[Мунин›]

Цитата:

   3. Про, собственно, мой вопрос. Я всего лишь прошу показать мне (если можно) такую веру (напрашиваются кавычки), в которой существование Бога -- не аксиома, а теорема. С доказательством. Потом я хочу посмотреть на элементарные определения, взятые для этого за основу, и подумаю, удовлетворяют ли они меня. Если нет, обосную, почему. Конечно, очень интересно узнать про изъяны классической логики, но вопрос был не о том. Кстати, это беседа -- гораздо более интересный ответ, чем: "Нет, такой аксиоматики нет. Точка. Разговариваешь с каменной стеной."

Был ряд все более и более тщательных доказательств бытия Бога. С этими доказательствами соглашаются обычно только верующие люди. А вот с аксиоматикой, боюсь хуже, скорее, там речь шла об эмпирических утверждениях. Насколько четко они были сформулированы - тоже вопрос.

Цитата:

   Так почему столько тысячелетий люди верят в Бога, а не в меня, не в Тутанхомона, или его жену? Должно же этому быть какое-то разумное объяснение?


Внутренняя потребность человека, скорее, морально-эмоциональная, чем логическая. imho.

Цитата:

   6. Людям, сведущим в математике. Где-то я слышала, что есть такая теорема: любое событие можно представить в виде положительных и отрицательных ответов на вопросы. То есть в виде нулей и единиц.

Нельзя. imho.

               

               

[Арвинд›]

Цитата:

   Так. Начнём по-порядку.


Начну безо всякого порядку. Просто с того, что проще  

Цитата:

   6. Людям, сведущим в математике. Где-то я слышала, что есть такая теорема: любое событие можно представить в виде положительных и отрицательных ответов на вопросы. То есть в виде нулей и единиц. А всё это уже означает буллеву алгебру, где отношением порядка являются причинно-следственные связи. В книге по буллевой алгебре есть теоремка: у буллевой алгебры есть максимальный элемент (Бог, причина ВСЕГО), и минимальный (конец света, следствие всего). Если события образуют буллеву алгебру, то, считайте, Бога (или Большой Взрыв) вы мне доказали.


Хороший образец того, что нынешние увлеченные наукой люди ценят наши (человеческие, выдуманные) теории больше реальной жизни
В частности, чисто математическое понятие "события" начинает влиять на космологические представления, хотя:
1. Понятие "события" в математике (точнее, в теории вероятностей) имеет четкое определение в отличие от обыденного представления о событиях как любых наблюдаемых фактах. Т.е. эти понятия разные!
2. В частности, далеко не любое множество каких-то "элементарных исходов" (т.е. подмножество универсума) является событием: доказано существование неизмеримых множеств (при принятии аксиомы выбора).
3. События не всегда шифруются последовательностью нулей и единиц - это верно только в дискретной модели (т.е. множество всех элементарных событий, оно же универсум - не более чем счетное множество). Для примера, всем здесь (видимо) известное нормальное (гауссово) распределение имеет непрерывную функцию распределения, т.е. опирается на непрерывную, несчетную модель.
4. Класс событий в теории вероятностей тем не менее всегда является алгеброй множеств - в силу своего определения в аксиоматике Колмогорова. Любая алгебра множеств может служить интерпретацией булевой алгебры.
5. Алгебра множеств - по определению кольцо с единицей (она же - максимальный элемент, она же в теории вероятностей - множество всех элементарных исходов, она же в разных теориях - универсум). В частности, наличие единицы (максимального элемента) в булевой алгебре - не теорема, а часть определения - т.е. аксиома (иначе не было б определения отрицания как дополнения к утверждению).
6. В булевой алгебре максимальный элемент является не причиной, а следствием "всего". И, наоборот, из минимального элемента (пустого множества) следует любой другой. Последнее предложение в интерпретации булевой алгебры как двоичной логики превращается в известное свойство функции "следует":
(0 -> 1) = 1, т.е. из ложных посылок следует все, что угодно.
7. Таки при чем здесь Бог?

Прости, Raccoon, но истина дороже...

               

               

[Raccoon›]

  Я слегка не поняла, чем я обидела реальность. Просто у каждого свой способ размышлять. Математический способ такой: берёшь какой-то объект реальности, изучаешь его свойства. Дальше находишь математический объект, соответсвующий описанию реального. И дальше уже дело математики. Самое загадочное и необыкновенное то, что почти всегда результаты математического исследования можно применить к реальности. Иногда математика слабовата (когда-нибудь разовьётся). Иногда мы просто не можем увидеть ВСЕ свойства объектов. Но это уже проблемы ограниченности человеческих способностей, а не проблемы метода исследования. Тем более что такой метод сразу выявляет незнание каких-нибудь свойств объекта, несовершенство твоего математического аппарата и т. д. То есть честно предупреждает тебя о необходимости ещё раз тщательно подготовиться перед исследованием
  Хочу успокоить: я не всегда думаю таким способом, скорее даже редко   Но этот вопрос хочу проработать именно с такой точки зрения. Если кто-нибудь не согласен с таким методом, прошу подискутировать.
  Читатель, не нужно приплетать сюда теорию вероятностей. Ты бы ещё вспомнил про СТО, где событие -- это точка в четырёхпространстве. Событие -- оно либо случится, либо нет. Причём здесь вероятность этого? А если и причём-то, то мне совершенно всё равно, непрерывная она, или дискретная, или даже сингулярная. Это совершенно иное, чем событие, понятие.
  Про буллеву алгебру. Честно говоря, это не я придумала покопаться в этой области математики. Спиноза доказывал существование Бога теоремой, очень похожей на теорему из теории буллевых алгебр.
  Кстати, что вы думаете по поводу "Этики" Спинозы? Этот трактат можно найти здесь: http://books.atheism.ru/arhiv//
  Вообще забавная тут библиотека. Мне нравится.
  Про то, что Бог -- наименьший элемент,  а не наибольший, я знаю. Но это как-то не звучит    К тому же если большим элементом считать причину, а не следствие...
  Энт, ты как всегда, прав. Потому что говоришь общие фразы. Почему бы не кинуть ссылку на эти расплывчатые идиомы? А с внутренней необходимостью верить во что-то, кроме объективности окружающего мира, я не соглашусь. Может, я моральный урод?


   

               

               

[Арвинд›]

Цитата:

  Читатель, не нужно приплетать сюда теорию вероятностей. Ты бы ещё вспомнил про СТО, где событие -- это точка в четырёхпространстве. Событие -- оно либо случится, либо нет. Причём здесь вероятность этого? А если и причём-то, то мне совершенно всё равно, непрерывная она, или дискретная, или даже сингулярная. Это совершенно иное, чем событие, понятие.


Ну, когда я прочитал "Где-то я слышала, что есть такая теорема: любое событие можно представить в виде положительных и отрицательных ответов на вопросы. То есть в виде нулей и единиц.", то естественно было предположить, что в виде нулей и единиц представимо именно математическое понятие, разве не так? А в математике понятие "событие" встречается только в теории вероятностей, причем оно вводится раньше, чем "вероятность". Так что я про вероятности ни слова не сказал, я говорил только про события - про то, что математическая абстракция этого понятия не адекватна в полной мере нашему обычному представлению. Причем событие в теории вероятностей тоже или случается, или нет. Но это не повод думать про него на языке "ноль - один". Могу доказать. Множество событий в непрерывной модели (Raccoon, это непрерывная модель исходов, к вероятности никакого отношения не имеет!!!) - это класс измеримых подмножеств множества элементарных исходов. Например, если мы "бросаем" точку на отрезок, то события - это интервалы (или их объединения), про каждый из которых мы можем сказать, попала в него точка или нет. Как видишь, каждое такое событие или происходит, или нет, совершенно однозначно. Здесь в качестве событий берутся измеримые по Лебегу подмножества данного отрезка. Мощность множества таких множеств равна мощности множества всех подмножеств отрезка (это надо доказывать? легко довольно), т.е. 2 в степени континуум. А двоичными последовательностями, даже бесконечными, можно закодировать только множество мощности континуума.
Вывод: даже для математического понятия о событии (без всяких вероятностей, их вообще в этой модели не было!!!) легко доказать, что закодировать их нулями и единицами невозможно. Очевидно, что наше житейское представление о событии шире математического (или это как раз тебе неочевидно? тогда поговорим об этом моменте подробней). Поэтому "теоремка" про представление нулями и единицами неверна - ни в математике, ни в жизни.


               

               

[Raccoon›]

   Извиняюсь, если не так поняла. Но всё-таки количество исходов конечно, или хотя бы счётно. Просто оно очень большое. Вся физика (которая вполне удовлетворительно описывает мир) -- это то или иное приближение квантовой физики. Которая оперирует счётными множествами. Так что, по большому счёту, классическое приближение не работает.
   Я думаю, лучше оставить тему о буллевых алгебрах. Я так поняла, никто не соглашается даже с постановкой вопроса. А как насчёт остальных пунктов?

               

               

[Мунин›]

Цитата:

  Энт, ты как всегда, прав. Потому что говоришь общие фразы. Почему бы не кинуть ссылку на эти расплывчатые идиомы? А с внутренней необходимостью верить во что-то, кроме объективности окружающего мира, я не соглашусь. Может, я моральный урод?



На идиомы ссылку не кину, потому что сам не знаю. Я выскреб в этот форум из головы практически все, что там осело от курса философии. Сорри. Кидать пальцы мы горазды, а вот подкрепить делом… Впрочем, есть пара человечков, к которым могу зафорвардить.

А про внутреннюю необходимость я говорил не для каждого человека, а для достаточной доли населения. Кроме того, уверен, что ты, не признавая этого, все равно веришь весьма во многое. В то, что Солнце завтра не сожжет всю жизнь на Земле. В то, что завтра на улицах не начнется повального людоедства. Во много еще что.

               

               

[Raccoon›]

Цитата:
 link=board=trep&num=1020657548&start=30#33 date=05/15/02 в 19:23:02]
А про внутреннюю необходимость я говорил не для каждого человека, а для достаточной доли населения. Кроме того, уверен, что ты, не признавая этого, все равно веришь весьма во многое. В то, что Солнце завтра не сожжет всю жизнь на Земле. В то, что завтра на улицах не начнется повального людоедства. Во много еще что.



Ну, я не столько верю в это, сколько знаю маловероятность такого исхода. Может, это и подсознательное знание, но сравнить его с верой в загробную жизнь вряд ли можно.

               

               

[Мунин›]

Это не подсознательное знание, это подсознательная вера. Вот когда ты начинаешь об этом задумываться, приводишь доводы, наукообразно формулируешь, эта вера укрепляется, становится более аргументированной. Иногда она становится знанием. Но по большому счету: ты подсчитывала эту вероятность?

Твоя вера отличается от веры религиозной только тем, что допускает принципиальную проверку наукой. Ты об этом знаешь, и спишь спокойно. А многим эта характеристика веры просто не нужна. И начинают верить в то, что либо выпадает из твоей картины мира (Бог, например), либо просто выглядит дикостью (экстрасенсы, заряжающие воду и снимающие сглаз по фотографии).

               

               

[Raccoon›]

    Вот на подсознательные темы говорить можно долго и бесплодно. А потому не надо. В психологии (и не только там) всё можно объянить как одним способом, так и прямо ему противоположным.
    К тому же я сразу предупредила, что не хочу делать акцента на эмоциональные переживания. И вообще не про то разговор  
    По вере я, скорее всего, воинствующий атеист (интересно, как смотрят на таких людей, как я, верующие? Как на младенцев неразумных?)
    Ох, кажется, я становлюсь занудой.

               

               

[Feanor›]

Уффф... Ну вот я, наконец-то, добрался написать сюда.



Цитата:

3. Мир на самом деле скорее всего подчиняется неизмеримо более сложным законам, чем может вместить человеческий разум, и все открытые человеком законы,  даже законы логики, вероятно являются лишь незначительными частными случаями истинных законов, и верны лишь при значительных ограничениях, которые в рамках нашего опыта (в силу уже упоминавшейся его пространственно-временной ограниченности) всегда (или почти всегда) выполняются.



Думаю, что это может послужить отличным выводом из всего этого оффтопика (я, правда, это оффтопиком не считаю). Вышепроцитированную фразу надо выгравировать в камне и повесить Еноту над кроватью. Это первое.

Второе, это то, что я хочу сделать одно маленькое замечание по теме. Многое из того, что Читатель говорил о развитиии математики было мне ранее неизвестно. Я не математик, и все что у меня есть - это четыре года физ-мата и один курс МИФИ + спецкурс по теории групп + еще кое-какие самостоятельные изыскания на эту тему. Тем не менее, приведенные объяснения (спасибо, опять же, грамотному простому и лаконичному изложению Читателя) понятны любому технарю. И в итоге я про себя могу сказать, что моя точка зрения и точка зрения Чиателя и Илнура во многом близки.
Это было "как-бы-вступление". Теперь, собственно то, о чем я хотел сказать: меня интересует (по крайней мере, в данном случае) более широкий взгляд на вещи, без рассмотрения детального механизма их функционирования. Сейчас попытаюсь объяснить это на примере: как было сказанно выше в классической математике не может существовать множество всех множеств,  потому что оно противоречит простейшим аксиомам (определениям) классической математики. Это противоречие появляется из-за того, что к двум противоположным утверждениям ведут две верные цепочки доказательств. Причина этого, как было показано заключается в несовершенстве человеческой логики. Внимание, вопрос: в чем заключается причина несовершенства человеческой логики? Другими словами, что если нас всех на***ли (другое слово сюда не подходит) и существует, к примеру, множество всех множеств и одновременно выполняется теорема Кантора, и все это - в рамках классической математики? Но мы это не в состоянии понять не в силу неправильности нашей логики, а в силу горздо более глубокого фактора: неких особенностей человеческого мышления, которые не позволяют нам воспринимать мир ("этот" и "не этот" здесь бессмысленны - объективная реальность - единственна) таким, какой он есть на самом деле. В результате мы воспринимаем мир (этот - другого для нас нет) так, как мы его интерпретируем.
Отсюда можно сделать один очень интересный вывод: все модели и подходы математики, упомянутые и неупомянутые Читателем, строятся (!!!ВНИМАНИЕ!!!) в рамках как раз этого, скажем так, "ограниченного" мышления. (нечего и говорить, что все наши рассуждения здесь относятся туда же, поэтому в своих словах я тем более не уверен)
Или еще сильней: сама идея научного подхода к описанию/постижению мира тупиковая, но по-другому мы не можем, потому что в нетупиковом подходе (подходом даже назвать не могу, восприятие, мышление, осознание - все равно, все не то) есть нечто важное, что человеческий мозг осознать не в состоянии.

               

               

[Feanor›]

Попробую хотя бы сделать первый шаг в попытке разобраться в чем заключаются эти особенности мышления. Одна из особенностей людского мышления заключается в том, что люди воспринимают мир с позиции "изнутри". Т.е. так, как они видят его "вокруг себя". Любая попытка взглянуть на все с более общей позиции, которая учитывает различные факторы позволяет добиться продвижения (полагаю, что, в основном, засчет появления возможности сопоставлять, хотя скорей всего не только из-за этого), будь это примитивная семейная ситуация или важная научная проблема. Очевидно, что все эти случаи все равно являются взглядом изнутри, просто с немного более высокой площадки. Иногда это называют расширением кругозора. Что же такое увидеть мир снаружи? Когда я говорю, что эльфы "не верили, а знали, я имею ввиду нечто большее, нежели просто наибольшее развитие опыта. Т.е. имеется ввиду такое знание, где не нужны никакие доказательства (в том числе и опыт поколений). Не надо путать это с верой: вера - это, говоря на привычном для присутствующих языке, как теорема без доказательства, которую ты принимаешь как аксиому за неимением лучшего. Знание в человеческом понимании - это нечто, у чего есть доказательства - любые, визуальные, документальные, логические, какие-угодно. А вот что такое то другое знание (назовем его "эльфийским" или "внешним" знанием) я выразить словами затрудняюсь. Ему не нужны доказательства, потому что оно опирается на реальную, а не на воспринимаемую реальность. Человечество строит свое знание отталкиваясь от своего видения этого мира. Эльфийское знание не требует никакого построения, потому что каждый элемент знания существует независимо от того каким образом он был выведен или доказан, то есть доказательство не требуется вообще.

Пожалуй я на этом сейчас закончу свою жалкую попытку объяснить особенности человеческого мышления. Если кому-то стало интересно - можем продолжить.

И вот еще что. Если попытаться себе представить "взгляд снаружи", то советую прочитать вот эти рассказы великого Хорхе Л. Борхеса из книги "Алеф". Это, конечно же, далеко не то, что я имею ввиду, но все-таки позволит дать хотя бы какое-то представление.

"Письмена бога" - http://www.lib.ru/BORHES/kniga.txt - найдите по оглавлению
"Алеф" http://orel.rsl.ru/nettext/foreign/borhes/alef.htm

               

               

[Мелиан›]

2Feanor:
Хорхе Л. Борхес в "Письменах бога" воспроизвел работу ищущего сознания человека, и подведя его к черте , показал точку просветления - как смысловой вызов, брошенный человеку смыслом. Человек, поняв смысл вселенной, не захотел, обладая знаниями, стать всемогущим, дабы став Богом, он станет НИКЕМ.

Вывод: познание законов мира непосильная задача для человеческого разума, и даже узрев смысл, человек оказывается неспособным стать Богом, из за своей ничтожности перед знанием.


               

               

[Арвинд›]

Цитата:

   2. Про то, что наша (канторова) логика -- "примитивна". В принципе, формальная логика -- лишь частный случай канторовой. И ключевой момент здесь такой: в общем случае какие-то моменты частного случая могут не выполняться. Это нормально. Но если в частной модели не выполняется какой-нибудь закон общего, то что-то тут не так с нашим частным примером. Поэтому, если в примере появляются противоречия относительно общего закона, то это в нашем частном случае неполадки, и это совсем не повод объявлять общие законы недействительными. По-моему так.
    Если я что-то недопоняла, скажите. Вообще трудно отвечать на громоздкие сообщения (это не упрёк Читателю). Каждое предолжение по отдельности понятно, нить рассуждений тоже. А вот общая идея, которую хотел донести автор, улавливаю с трудом    Читатель, ты бы хоть краткое содержание писал  


Я, мне кажется, словосочетаний «канторова логика» и «примитивная логика» не употреблял. Я говорил о наивных представлениях: здесь слово «наивный» – не оценка, а термин, характеризующий те представления о способах рассуждения, доказательствах, строгости, непротиворечивости, построении аксиматики и пр., какие были у математиков и вообще людей науки до внимательного изучения этих вопросов.
Краткое содержание того, что мной до сих пор было сказано по теме, в одном из предыдущих моих посланий имеющей номер 2, таково: развитие математики дает возможность понять, что аксиоматическое построение теорий имеет определенные ограничения, что законы логики не обязаны быть универсальными, и что есть определенные принципиальные ограничения на путях рационального познания. Я, действительно, не раскрыл содержание этих тезисов, поскольку планировал рассмотреть связанные с этим вопросы по возможности обстоятельнее, и лишь по результатам такого рассмотрения писать выводы. Однако ход дискуссии показал, что для общения на форуме это неудачная идея. Это показала не только реплика Raccoon, но и последнее послание Феанора, в котором он говорит о довольно близких моим тезисам вещах, так что мне хочется сразу их проиллюстрировать и развить в меру своих способностей. Потому теперь буду делать выводы сразу, сократив большую часть рассмотрений. Жаль, если теперь выводы покажутся недостаточно обоснованными из-за моей вынужденной краткости (и еще жальче, если она кому-то покажется длинностью ).


               

               

[Арвинд›]

Для начала я хотел обратить внимание на принцип, обобщающий известное понятие «предикативности». В логике выделяют так называемые «непредикативные определения» – это те определения, в формулировке которых явно или неявно фигурирует определяемый объект. Например, определение какого-нибудь множества окажется непредикативным, если в нем фигурирует словосочетание «любое множество» (из-за этого, например, аксиома Пеано об индукции оказалась неформализуема). Но понятие «предикативности», на мой взгляд, имеет достаточно узкий смысл, мне же хочется, чтобы вы увидели нечто общее в самых разных примерах – для части из них нельзя говорить о «непредикативности», но можно говорить о чем-то похожем. Я этот принцип (может быть, неудачно) обозвал «самозамыканием» – это некое «короткое замыкание», которому подвергается любое рассуждение, если мы позволяем ему самому служить объектом этого же самого рассуждения.
Вот примеры, которые я хотел разобрать подробно, но теперь ограничусь перечислением:


               

               

[Арвинд›]

1. «Парадокс лжеца»: «Высказывание, которое я сейчас произношу, ложно». Понятно, что его нельзя назвать ни истинным, ни ложным. Не буду анализировать, ограничусь тем, что этот парадокс волновал умы древних греков (нашел даже отражение в Библии - послание к Титу), но через какое-то время стал банальным примером некорректности. Две с половиной тысячи лет к нему относились спокойно, и только примерно в 1930 г. эта бомба взворвалась - о чем ниже.
2. «Парадокс скептика»: даю в порядке отступления, для математиков он не важен. «Парадоксальное» высказывание – это принцип «сомневайся во всем». Анализ его показывает, что он просто ложен (вследствие своего императивного характера, которое не выносит сомнения - т.е. из «сомневаюсь, что надо сомневаться во всем» следует «неверно, что надо сомневаться во всем»).
3. Парадокс Рассела. В обыденной форме: древенский парикмахер бреет тех и только тех мужчин, которые не бреются сами. Вопрос: бреет ли он себя? На языке теории множеств: рассмотрим R - свойство множества, заключающееся в том, что множество не является элементом самого себя. Можно представить себе множества, не удовлетворяющие этому свойству. Рассмотрим класс K(R) всех множеств, удовлетворяющих R. Вопрос – выполняется ли для K(R) свойство R?
4. Задача о самоприменимости: каждый алгоритм можно записать в виде набора инструкций для какой-либо вычислительной машины. Например (как это реализовано в компьютерах фон-неймановской архитектуры) можно записать алгоритм в виде последовательности нулей и единиц. Но и данные, с которыми он работает, тоже можно записать в виде нулей и единиц. Алгоритм называется применимым к данным, если он обрабатывает их за конечное время и выдает какой-то ответ (кто знает теорию алгоритмов - простите за упрощенное изложение). Для каждого алгоритма существует некая «область определения» – те данные, к которым он применим. Запись самого алгоритма – тоже, как говорилось, данные, так что он может быть или применим к себе (к своей записи), или нет. Вопрос: существует ли алгоритм, который для любого входного алгоритма определит, является ли тот самоприменимым? (hint: рассмотреть вопрос о том, будет ли такой алгоритм самоприменимым).
Надеюсь, теперь более-менее ясно, что я называю «самозамыканием». Это то общее, что лежит в основе всех приведенных парадоксов. Я вернусь к этому чуть позже, а сейчас - о формальных теориях и теоремах Гёделя о неполноте.

               

               

[Арвинд›]

Сама потребность в формализации математических рассуждений была осознана в конце 19 – начале 20 века. Этому способствовало все более ясное предчувствие появления вычислительных машин (они стали активно изучаться до воплощения «в железе»), и – явно неудовлетворительное положение теории множеств,  парадоксы которой после открытия Рассела стали активно исследоваться и, увы, размножаться. Остро встал вопрос о том, какие вообще рассуждения могут привести к противоречиям, а какие все-таки не приведут. Кроме того, стало очевидно, что привычные рассуждения о бесконечных множествах могут не срабатывать, при этом никаким эмпирическим путем, естественно, нельзя было установить, вправе ли мы переносит на бесконечность то, что мы знаем для конечных множеств, или нет. Д. Гильберт был идеологом пересмотра математики по следующему принципу: все рассуждения, которые мы считаем корректными, можно выписать в явном виде, как некие правила преобразования формул. Прибавим к этим правилам еще те формулы (определения и аксиомы), которые описывают какие-нибудь математические объекты – и мы получим формальную теорию вместо «наивной». Т.е. основное свойство формальной теории - что в ней явным образом указаны те преобразования символов, которые мы допускаем, при этом считается, что формула выводима в данной теории, если можно указать последовательность преобразований, примененных к исходным формулам, приводящая к данной.
Было построено две «хорошие» формальные системы - это исчисление высказываний и исчисление предикатов (более общее). Собственно, наша логика в них представлена вполне исчерпывающим образом (тот же Гёдель доказал полноту исчисления предикатов, но на этом не будем останавливаться). Любой математик согласен с тем, что логика как таковая вполне заменима формальной логикой. Поэтому вместо того, чтобы абстрактно рассуждать о числах, функциях и множествах, можно дать им формальные определения и жестко следовать предложенным «правилам игры».  Так были созданы формальная арифметика, формальный анализ и формальная теория множеств. Все они, конечно, включали формальную логику.
В чем прелесть, скажем, аксиоматической теории множеств Цермело-Френкля (ZF)? В том, что в ней формализуется вся содержательная часть математики - она как бы взяла из Канторовской теории все нужное, но умело отбросила парадоксы. При этом рассуждений о бесконечностях там нет: мощность множества – это просто один символ, приписываемый другому символу по явно данным правилам. Символа для пресловутого “множества всех множеств” не предусмотрено. Считается, что все рассуждения, принимаемые математиками как строгие, могут быть представлены на язые ZF. Таким образом, споры о корректности каких-то построений и об отсутствии противоречий можно свести к рассмотрению одной тщательно сформулированной теории.


               

               

[Арвинд›]

Задача-максимум Гильберта состояла в следующем: формализовать математику в виде теории, для которой будет доказана ее непротиворечивость и полнота. Полнота теории означает, что все истинные суждения в ней могут быть доказаны (есть довольно тонкие вопросы терминологии, различающие суждения «истинные», «верные» и «выводимые», но я не буду вдаваться в дебри).
Гильберт был одним из последних великих математиков, видящих всю современную им математику как единое целое (последним стал Колмогоров, а будут ли еще - посмотрим. Может, и нет – специализация - бич любой взрослой науки). Его вера в могущество разума очень характерна. Мне думается, многие гении до него считали так же. Скорее всего, Эйлер на вопрос: «можно ли на любой хорошо поставленный математический вопрос дать определенный ответ (в принципе, когда-нибудь)?» сказал бы четкое «да!».
Видимо, вера великих математиков черпала и тех же источников, из которых Raccoon взяла свои слова:
«почти всегда результаты математического исследования можно применить к реальности. Иногда математика слабовата (когда-нибудь разовьётся). Иногда мы просто не можем увидеть ВСЕ свойства объектов. Но это уже проблемы ограниченности человеческих способностей, а не проблемы метода исследования. »
«можно рассмотреть любое мировоззрение как систему:
… 2) аксиом (элементарных утверждений, их должно быть очень немного, чем меньше -- тем лучше); »
«у христианства есть более-менее выраженная аксиоматика (набор аксиом)? И если есть, то имеет ли она противоречия?»
К сожалению, предложение Гильберта включить логику (точнее, вообще все корректные способы рассуждений) в математику и изъять тем самым «человеческий фактор» не учитывало подспудно накапливающихся примеров «самозамыкания» – хотя, казалось, должно было от них и защитить.

               

               

[Арвинд›]

Здесь слегка уклонюсь в сторону - чтобы ответить на слова «когда-нибудь разовьется». Пример 4 - задача о самоприменимости - доказывает, что существуют алгоритмически неразрешимые задачи. Это само по себе весьма неприятно, и противоречит воззрениям многих математиков прошлого - те верили, что если надо что-то посчитать, то какой-нибудь метод для этого существует. Это, увы, не так. Есть более слабые, но важные для практики результаты: для многих практических задач доказано, что решить их можно только методом, близким к полному перебору всех вариантов. Есть такая нерешенная проблема P = NP . В это равенство никто не верит, но опровергнуть пока не могут. Но если принять это очень правдоподобное утверждение (что равенство неверно), то окажется что любую так называемую NP-полную задачу (это, как правила, задачи поиска объекта с каким-то свойством, такие задачи встречаются на практике у, например, экономистов) нельзя решить за приемлемое время - число шагов алгоритма экспоненциально растет с возрастанием длины исходных данных, и лучшего алгоритма предложить нельзя принципиально. И здесь никакое развитие вычислительной техники нас не спасет. Конец отступления.

               

               

[Арвинд›]

Итак - математики искали доказательства полноты и непротиворечивости своих теорий. При этом они хотели отделить корректные способы рассуждения от некорректных, сформулировав первые в виде четких принципов, которым  необходимо следовать. Этот естественный, очевидный шаг привел к тому, что способы рассуждений, которыми можно пользоваться в теории, были встроены в саму теорию. И здесь-то и наступает «самозамыкание».
Гёдель использовал идею того самого «парадокса лжеца» для доказательства своей теоремы. Он рассматривал формальную арифметику. Конечно, Гёдель предположил, что она непротиворечива - иначе в ней было б выводимо любое утверждение, в том числе заведомо ложные. Он обратил внимание, что есть формулы, которые что-то утверждают - скажем, о числах. Далее он занумеровал все формулы неким способом (формул всего счетное множество), поставив в соответствие формуле  ее «геделевский номер». После чего для формулы A(x) рассмотрел формулу A(n), где n - геделевский номер формулы A. Получается, что формула A(n) утверждает (может утверждать) нечто о ней самой! Далее, на основании таких конструкций им была сконструирована формула B, которую можно проинтерпретировать как утверждение “я невыводима”. После чего он тщательно доказал ее невыводимость. Некоторое обобщение полученного результата позволяет сформулировать теорему:
Для любой непротиворечивой достаточно содержательной (в том смысле, что в ней есть понятие хотя бы о натуральных числах) формальной теории можно указать утверждение, которое невозможно ни доказать, ни опровергнуть в рамках данной теории.
Можно даже выразиться сильнее: есть истинные суждения, которые нельзя доказать, и ложные, которые нельзя опровергнуть. Хотя такая формулировка специалиста не совсем удовлетворит...
Таким образом, любая из интересных математикам теорий (кроме исчисления высказываний и и. предикатов) неполна. В ней есть принципиально неразрешимые суждения. В свете этого требование рассматривать «минимальное число аксиом» неконструктивно: сколько б аксиом мы не рассмотрели, всегда найдется еще одна, независимая от рассмотренных.

               

               

[Арвинд›]

Вторая теорема доказывается довольно сложным анализом доказательства первой теоремы, я эту теорему только сформулирую:
В первой теореме в качестве абсолютно неразрешимого суждения можно взять утверждение о непротиворечивости теории. То есть непротиворечивость теории недоказуема методами этой теории
Как видим, доказательство непротиворечивости системы аксиом представляется делом невозможным. На самом деле это можно сделать, если «погрузить» рассматриваемую систему в какую-то более общую. Вследствие этого для математиков предметом веры остается непротиворечивость ZF - непротиворечеивость формальной арифметики и анализа можно отсюда вывести. Но ничего более общего, чем теория множеств, нам неизвестно.

               

               

[Арвинд›]

В настоящее время в математике известно довольно много неразрешимых задач, причем в разных смыслах этого слова. В частности, знаменитый пример неразрешимой задачи для ZF - континуум-гипотеза Кантора (первая проблема Гильберта). Она гласит, что не существует множеств мощности больше счетной, но меньше континуума. Казалось бы, логика ясно требует однозначного ответа на этот вопрос. Но правильный ответ был дан П.Коэном, и звучит он так: «хрен его знает».
Впрочем, он же в своей книге пишет, что невыводимость гипотезы делает его приверженцем вывода, что конитнуум-гипотеза яляется, очевидно, ложной. Но это не мешает математикам доказывать теоремы, ссылаясь на предположение о ее истинности.
Здесь мы приходим к тонкому моменту об относительности понятия «истинности». Я недостаточно компетентен, чтобы рассуждать о «релятивистской истинности», введенной Коэном. Я лучше обращу внимание на другой момент: в доказательстве теоремы Гёделя введена формула, которая говорит о собственной невыводимости. Далее показывается её невыводимость. Т.е. по сути дела мы ее умеем доказывать - но она же невыводима! Здесь фокус в том, что интерпретация формулы формальной теории не принадлежит, т.е. смысл высказывания понятен нам (он неформален), но не воображаемой машине, знающей только формальную теорию. Другой пример - пусть у нас есть неразрешимое высказывание в рамках формальной арифметики, например, в форме: свойство P неверно для всех натуральных чисел, начиная с N (некоторые предполагали, что теорема Ферма - как раз такое высказывание, но, к счастью, ошиблись). Если бы существовало число, для которого верно P, то оно опровергло бы эту гипотезу. Значит, она была бы разрешима. Поскольку она неразрешима, то она верна. Здесь никакого противоречия нет. Она неразрешима теми средствами, которые мы согласились считать подходящими. Если бы мы смогли как-то формализовать приведенное выше доказательство, т.е. сформулировать какие-то еще правила (или аксиомы), которые в этом рассуждении использовались, то эта гипотеза перестала бы быть неразрешимой. Но обязательно нашлась бы новая неразрешимая проблема.

               

               

[Арвинд›]

Итак, теоремы Гёделя говорят не столько о том, что всегда найдутся гипотезы, установить истинность или ложность которых принципиально нельзя, сколько о том, что никакие формализуемые методы рассуждений не могут дать нам полной картины - даже в математике, которая полностью является порождением нашего разума. Грубо говоря, они дают понять, что такие методы (аксиоматических теорий) неадекватны истине. Даже если человек уверен в правильности какого-то высказывания, он не сможет научить машину также четко распознать эту правильность. Формализм Гильберта как попытка оторвать математику от человеческого разума и сделать ее абсолютно объективной, не удался. Я мог бы поговорить о том, как конструктивизм и, в частности, интуиционизм пытались по-своему решить эти проблемы, но не стану (хотя я уже упоминал, что они отказались от закона исключенного третьего).
Для меня важнее вновь обратить внимание на то самое пресловутое «самозамыкание». Этому принципу можно дать некоторую примитивную аналогию в физике: «точка опоры». Мюнхгаузен не мог вытащить себя за волосы из болота, если не использовал никакой точки опоры. В каждом нашем рассуждении есть такая же точка опоры, и если мы начинаем «замыкать» рассуждение само на себя, то оно эту опору теряет. Для математика опора - его интуиция. И если мы хотим ее до конца исчерпать, то мы этой самой опоры лишимся.
Если все эти рассуждения привели вас к выводу, в котором я таким способом оказался убежден, то я буду считать свою задачу выполненной. А вывод такой:
Знаменитая задача древних «познай самого себя» решена не может быть принципиально. Все попытки разумного объяснения феномена сознания (и разума) обречены на неудачу, так как опираются на сам этот разум. Он - данность, которую мы должны вынести за скобки.

И маленькое добавление: если попытка говорить о чем-то объективном предполагает отказ от субъективности - как же не лишиться точки опоры в познании природы? Думается мне, слияние Объекта и Субъекта возможно только одним способом: в Боге. Но научные методы познания здесь, конечно, бессильны.

Теперь я рассказал все, что считал важным по «теме 2» и перехожу в режим диалога

               

               

[Арвинд›]

Простите, забыл.
Обычно рекомендуют следующие книги:
Клини «Введение в метаматематику».
Гильберт, Бернайс «Основания математики».
Френкель, Бар-Хиллел «Основания теории множеств».
Я сам разбирался в этом с помощью более специальной литературы, в частности, книги Коэна «Теория множеств и континуум-гипотеза». Но не советую без знакомства с предметом - на себе проверил, что это мазохизм.

Что касается других формальных теорий множеств, то после ZF чаще других упоминают систему Геделя-Бернайса. Она в некотором смысле равносильна ZF - доказана их равнонепротиворечивость. Вообще, как вы можете видеть, в математике можно доказать только относительную непротиворечивость. Здесь это и сделано: ZF непротиворечива -> GB непротиворечива, и наоборот. Ценность GB в том, что в ней конечное число аксиом, а в ZF - счетное. Короче говоря, это все именно разные системы аксиом, но не разные логики.

               

               

[Вацлав›]

2Читатель. Великолепно!!! Сложно, но великолепно! Я не то что бы религиозный человек... но верующий. Пришедший в православие через славянское, греческое, римское, кельтское и пр. короче-язычество, католицизм, буддизм, атеизм...
Знаете, эдакая точка зрения Франциска Ассизского: "Слава Господу за сестру нашу Землю, что родит и траву, и плоды, и пестрые цветочки!"
Да, я гуманитарий с математическим складом ума ( ей-богу, определение меня не мною придумано!). При моей любви к астрономии в свое время катастрофически сказывалась нехватка математических и физических знаний... Да и нынешняя профессия (редактор) обязывает знать все доступное... Иногда просто обалдеваю равно как от знания, так и незнания.

2Все. ИМХО, надо отсылать в "Савешник" и, судя по всему, из этой темы выделять подтемы. Например, "религия и наука", "несостоятельность теории эволюции", "проблема чуда", "религия и закономерность природы" и тьма еще всего.   Иначе слишком общо...

Понимаете, если я говорю: "Бог есть!", то правда на моей стороне, т.к. Бог везде, и во мне тоже. Но если вы говорите: "Бога нет!", то и вы тоже правы: в вас Бога нет.
Еще: никакая наука не сделала ничего нового. Она лишь открывает то, что было до нее.
И еще: вера и знание по отдельности - бессмысленны.
Вера без знаний приводит к слепому фанатизму, безумно далекому от истинной веры.
Знание без веры превращается в игру по одному-единственному правилу: "Ну-ка давайте посмотрим, до какой степени мы сумеем объяснить поведение  физической и материальной Вселенной (и - по пути -происхождение всего сущего) исключительно в терминах физической и материальной причинности, без сверхъестественного вмешательства".
Если фундаментальная наука сливается с верой в текст Библии (т.е. основывается на нем), получаются обалденные результаты.

               

               

[Вацлав›]

Подобная участь многих ученых - это не противостояние веры и науки! Это было противостояние великих ученых и их завистников, правящих научных кругов, которые перетянули церковников (неверующих!) на свою сторону.
Скажете, оправдываю христиан? Однако если я вечером выйду на Тверскую и увижу ряды и колонны вызывающе одетых женщин, я все равно не вправе утверждать, что ВСЕ женщины продажны!!

Наверняка 99% того, что многие знают об отношениях верующих христиан и Галилея, Коперника и пр., почерпнуто из книг в стиле "Библиотеки атеиста". Это ничего страшного, это норма.

Однако христианские историки, которые когда бы то ни было касались вопроса о форме Земли, говорили о ее шарообразности.
В Книге Пророка Исаии 40:20 говорится о "круге земли", на иврите - "khug" - шарообразность, округлость.
В пророчестве Иисуса Христа о Его втором пришествии из Евангелия от Луки 17:34-36 свидетельствует: Он знает, что Земля круглая. Он говорит, что у разных людей на Земле в одно и то же время будет ночь, утро и день.
Книга Екклесиаста 1:5 говорит: "Восходит солнце, и заходит солнце..." - и точкой отсчета является Земля. Земля вертится вокруг Солнца!

Ни Галилей, ни Коперник, ни Бруно, ни Кеплер, ни Ньютон - никто не опроверг учение Библии: да их, верующих, это просто в ужас бы привело!

Вот так...

               

               

[Feanor›]

Цитата:
Существа,

после некоторого размышления я решил разделить все мысли, которые вызвал у меня вопрос Raccoon, на 3 группы:

1. В вопросах взаимоотношения веры и науки не следует забывать самое главное: вера есть результат личного опыта. Поэтому пытаться извлечь ее из рассуждений, оторванных от опыта нельзя, равно как нельзя личный опыт подогнать под жесткие рамки научных экспериментов. В идеале этот опыт - как раз то, о чем говорит Феанор: "эльфы не верят, а знают". Эльф есть высшее выражение творческих способностей человека, так что и человек может к такому состоянию приблизиться. Но рассказать что-то об этом трудно - если выбирать примитивные обыденные примеры, получится просто смешно, а писать о внутренних личных ощущениях... это во всяком случае не ко мне. К тому же Raccoon просила в эту сторону разговор не уводить. Мораль: просто запомним выделенную полужирным фразу, обсуждать ее все равно бессмысленно.

2. Вопросы, касающиеся построения аксиоматических теорий, парадоксов, логичности, непротиворечивости и т.д. Знание современного уровня этой проблематики очень важно для каждого, кто занимается наукой или философскими вопросами теории познания (гносеологией). Математика далеко ушла от того "наивного" подхода, который остался у большинства людей, связанных с остальными науками, поэтому мне хотелось бы поделиться некоторыми результатами и своими наблюдениями. Собственно, первое сообщение Енота как раз и продемонстрировало этот "наивный" подход, а критики самого подхода так и не воспоследовало. Хотя в применении к "богословию" тут никаких особенных выводов не будет, смею надеяться, что эта тематика здесь присутствующим интересна (Amickko, пей пиво и не грузись. Я с самого начала выяснил у Raccoon ее образование, и перестал в этом треде рассчитывать на гуманитариев).

3. Собственно анализ мировоззрения, основанного на вере в Единого. Попытка разобраться в том, какие внутренние связи здесь есть - без попыток доказывать Его бытие. После результатов пункта 2 будет очевидно, что критерии логичности и непротиворечивости здесь не вполне уместны, просто человек со стороны сможет понять, как этические (например) представления верующего могут быть увязаны в систему и почему для материалистов это вряд ли возможно (если только не отбросить этику как таковую). Мне интересно этим заняться, хотя я не Спиноза, а даже он далеко не продвинулся. И все-таки, что смогу сформулировать, то напишу.


Итак, Господа, попробую я. Исходный вопрос был похерен практически в самом начале дискуссии после того как мы остановились на жирной фразе в пункте 1. Почему я захотел возродить эту беседу? Из-за того, что еще в самом начале в ней возник ряд вопросов гораздо более интересных, чем исходный. Дело в том, что заглохла она тогда, когда по второму пункту в его исходной постановке Читателем был дан практически исчерпывающий ответ, а точнее было показано, что человеческая логика замкнута сама на себе и работает только в пределах приложений, которые не соприкасаются с этим самозамыканием. При этом религия (практически любая), в силу сложившихся и культивируемых традиций, обходит эту проблему не допуская рассмотрения своей сути с точки зрения логики дабы никто не облажался.

Наша проблема здесь, однако, оказалась в том, что после прихода к ответу по второй теме, до перехода к третьей нам все еще оставалось и остается как пешком до луны. А именно, что сам по себе факт самозамыкания человеческой логики говорит лишь о том, что по-топорному третью тему обсудить нельзя, но особых методов к ее нетопорному рассмотрению он не дает.

Поэтому я предлагаю на данном этапе расширить вторую тему и, исходя из бякусов в "формальной" (не математической формальной) логике, рассмотреть немного глубже общие проблемы человеческого мышления как такового.
Место и время не позволяют мне высказаться первому в подробностях, поэтому я сейчас только обрисую круг вопросов на которых неплохо бы сконцентрироваться:
Связь человеческого мышления и хронологического, непрерывного течения времени (включая проблему отношения к так называемой "судьбе"). Необходимость причинно-следственных и логических связей (в математике, например, доказательств) для построения представлений и понятий. Представление об "объективной реальности" в людском мышлении (информационное восприятие), существование "абсолютной" информации (независимой от наблюдателя и от наличия наблюдателя вообще) и возможность установления такой информации. Плюс различные интерполяции этих трех вопросов, которые я прошу НЕ рассматривать как три отдельных вопроса, поскольку ответ, если он будет, на них будет один.

Также прошу модераторов скрепя сердце тереть все неотносящееся, поскольку иначе мы наплодим веток и через два дня удалимся нафиг.

Не торопитесь, господа :-)

               

               

[Вацлав›]

"Связь человеческого мышления и хронологического, непрерывного течения времени (включая проблему отношения к так называемой "судьбе"). Необходимость причинно-следственных и логических связей (в математике, например, доказательств) для построения представлений и понятий. Представление об "объективной реальности" в людском мышлении (информационное восприятие), существование "абсолютной" информации (независимой от наблюдателя и от наличия наблюдателя вообще) и возможность установления такой информации. Плюс различные интерполяции этих трех вопросов, которые я прошу НЕ рассматривать как три отдельных вопроса, поскольку ответ, если он будет, на них будет один."

Чертовски многогранно!! Опять мысль растечется по древу, и древо это по размерам как минимум Иггдрасиль!
Предложение: разделить тему на две части - сугубо философскую и с религиозным уклоном (не забывайте, все начиналось с "богословской темы"!) И задать там конкретные вопросы, практически не пересекающиеся между собой. И создать отдельные темы, а эту закрыть.