Ладно, расскажу про шарики.
Цитата из: shumel on 18-11-2005, 20:19:48
числа P, Q, R удовлетворяют условию 0 < P < Q < R.
Три игроки А, В, С играют в игру<...>
Игра продолжается N кругов, N > 2.
В конце игры у А накопилось 20 шариков, у В – 10 шариков, у С – 9
Обозначим S = P+Q+R. Очевидно, что S не меньше 6.
Самое главный, первый шаг решения состоит в простом замечании: сумма количеств шариков у всех игроков после N кругов равна N*S (каждый круг все игроки получают в сумме S шариков).
Мы знаем, что у них на руках 20+10+9 шариков. Число 39 имеет ровно два делителя, и из того, что S не меньше 6, получаем:
N = 3;
P+Q+R = 13.
Заметим, что у игроков B и С на руках шариков меньше, чем 13.
Значит, им достались выборки по три числа из (P,Q,R), сумма которых меньше, чем P+Q+R.
Ясно, что если в такой выборке встретится хотя бы раз R, то два остальных раза должно попасться Р - иначе сумма будет больше.
Мы знаем, что игрок В получил один раз R, следовательно, его ход игры нами разгадан полностью:
P + P + R = 10.
Игроку С не могло достаться Р шаров ни в первом, ни во втором круге.
Отсюда следует, что он также не мог получить R шаров ни разу (иначе ему надо было бы тоже получить два раза Р).
Следовательно, он получил в первом и втором круге по Q шаров.
Выпишем теперь два варианта уравнений для всех трех шаров в предположении, что третий игрок получил на третьем круге Q шаров (*) или Р шаров (**):
(С) Q + Q + Q = 9 (*)
(B) P + P + R = 10
(A) R + R + P = 20
(С) Q + Q + P = 9 (**)
(B) P + P + R = 10
(A) R + R + Q = 20
В случае (*) решаем начинаем решать систему двух уравнений 2х+у = 10, 2у + х = 20
Удвоим одно из уравнений, вычтем, получим х = 0 (у = 10). Такое решение нам не подходит.
Следовательно, задача имеет только то решение, которое удовлетворит системе уравнений (**).
Решается в уме: P = 1, Q = 4, R = 8.
Теперь я посмотрел на вопрос задачи, и понял, что на него можно было ответить раньше (упс!).
Мы еще до рассмотрений систем (*) и (**) поняли, что в первом круге Q шариков получил игрок С.
Ну и славно!
